[论文解读] Properties of a fractional derivative Schroedinger type wave equation and a new interpretation of the charmonium spectrum

Richard Herrmann|ArXiv.org|Oct 31, 2005

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文提出一种基于Caputo导数的分数阶导数薛定谔型波动方程，用于描述夸克偶素谱，表明禁闭和SU(3)对称性可自然涌现。该模型以小于0.1%的误差重现了粲偶素质量，并预测了三个新共振态，包括X(4965)，并估算Σc⁰(2455)的半径约为0.3 fm。

ABSTRACT

Based on the Caputo fractional derivative the classical, non relativistic Hamiltonian is quantized leading to a fractional Schroedinger type wave equation. The free particle solutions are localized in space. Solutions for the infinite well potential and the radial symmetric ground state solution are presented. It is shown, that the behaviour of these functions may be reproduced with a ordinary Schroeodinger equation with an additional potential, which is of the form V ~ x for $α<1$, corresponding to the confinement potential, introduced phenomenologically to the standard models for non relativistic interpretation of quarkonium-spectra. The ordinary Schroedinger equation is triple factorized and yields a fractional wave equation with internal SU(3) symmetry. The twofold iterated version of this wave equation shows a direct analogy to the fractional Schroedinger equation derived. The angular momentum eigenvalues are calculated algebraically. The resulting mass formula is applied to the charmonium spectrum and reproduces the experimental masses with an accuracy better than 0.1%. Extending the standard charmonium spectrum, three additional particles are predicted and associated with $Σ_c^0(2455)$ and Y(4260) observed recently and one X(4965), not yet observed. The root mean square radius for $Σ_c^0(2455)$ is calculated to be ~0.3[fm]. The derived results indicate, that a fractional wave equation may be an appropriate tool for a description of quark-like particles.

研究动机与目标

• 基于Caputo分数阶微积分，发展一种用于非相对论性量子系统的分数阶导数薛定谔型波动方程。
• 研究分数阶导数是否能自然地解释夸克偶素禁闭，而无需引入经验势能。
• 推导一个质量公式，以高精度重现实验测得的粲偶素谱。
• 预测标准粲偶素模型之外的新强子态，包括X(4965)。
• 利用分数阶波函数框架估算Σc⁰(2455)重子的均方根半径。

提出的方法

• 使用Caputo分数阶微分算子D_i = ∂_i^α（α ∈ ℝ₊）对经典非相对论性哈密顿量进行量子化。
• 推导自由粒子、无限势阱及分数阶波动方程中径向对称基态的精确解。
• 通过将普通薛定谔方程三重分解，生成具有内在SU(3)对称性的分数阶波动方程。
• 在SO^α(3)下的广义角动量代数框架下对多重态进行分类并计算Casimir算子。
• 通过从能级本征值导出的质量公式，将分数阶波动方程应用于粲偶素谱。
• 利用立方和球形无限势阱中的波函数，计算均方根半径的期望值，取α = 2/3。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过Caputo微积分导出的分数阶导数薛定谔方程能否以高精度重现实验测得的粲偶素谱质量？
• RQ2 该分数阶波动方程是否在不引入经验势能的情况下自然产生禁闭效应？
• RQ3 在分数阶波动方程框架中，SU(3)对称性起什么作用？它与夸克模型多重态有何关联？
• RQ4 该分数阶波动方程能否预测标准粲偶素模型中未包含的新强子态？
• RQ5 在该分数阶量子力学框架下，Σc⁰(2455)重子的均方根半径估计值是多少？

主要发现

• 当α ≈ 2/3时，分数阶薛定谔方程对实验测得的粲偶素质量重现精度优于0.1%。
• 无限势阱和自由粒子的解表现出局域化特性，表明禁闭效应可自然地从分数阶导数结构中涌现。
• 当α = 2/3时，该波方程表现出内在的SU(3)对称性，对应于标准薛定谔方程的三重分解。
• 预测了三个新粒子：其中两个与Σc⁰(2455)和Y(4260)相关，另一个标记为X(4965)，其预测质量为4965 ± 10 MeV。
• Σc⁰(2455)的均方根半径估计值为<r> ≈ 0.3 fm，与粲偶素模型的预期一致。
• 分数阶波方程提供了一个统一框架，无需引入人为势能即可同时重现粲偶素态的能谱和空间尺寸。