[论文解读] Properties of biharmonic submanifolds in spheres

A. Balmuş, Stefano Montaldo+1 more|ArXiv.org|Aug 21, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 10

一句话总结

本文对单位球面中的恰当双调和子流形进行了分类，证明了在 $\mathbb{S}^{m+1}$ 中，紧致的恰当双调和常平均曲率超曲面的平均曲率必须满足 $|H| \in (0, \frac{m-2}{m}] \cup \{1\}$，其中当 $|H| = 1$ 时仅对应于超球面 $\mathbb{S}^m(1/\sqrt{2})$，当 $|H| = \frac{m-2}{m}$ 时仅对应于克利福德环面 $\mathbb{S}^1(1/\sqrt{2}) \times \mathbb{S}^{m-1}(1/\sqrt{2})$。结果改进了对平均曲率的估计，并将双调和超曲面与 $II$-极小化曲面联系起来。

ABSTRACT

In the present paper we survey the most recent classification results for proper biharmonic submanifolds in unit Euclidean spheres. We also obtain some new results concerning geometric properties of proper biharmonic constant mean curvature submanifolds in spheres.

研究动机与目标

• 对单位球面中的恰当双调和子流形进行分类，特别是常平均曲率超曲面。
• 改进对球面中恰当双调和子流形平均曲率的估计。
• 利用微分方程和曲率恒等式，研究此类子流形的几何与谱性质。
• 在球面中建立恰当双调和超曲面与 $II$-极小化超曲面之间的联系。

提出的方法

• 利用雅可比算子 $J^\phi$ 和张力场 $\tau(\phi)$ 推导双调和映射的双张力场方程。
• 应用特征定理（定理 2.1）通过法丛联络和拉普拉斯算子确定双调和子流形。
• 运用紧致子流形上拉普拉斯算子的谱理论，特别是利用李希纳洛维奇不等式进行特征值估计。
• 利用曲率恒等式和第二基本形式 $B$ 推导双调和性的必要条件。
• 应用定理 3.6（关于具有常归一化标量曲率的超曲面）以限制 $|H|$ 的可能取值。
• 通过第二基本形式的面积泛函比较双调和条件与 $II$-极小化条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 子流形在单位球面中为恰当双调和的必要与充分条件是什么？
• RQ2 在 $\mathbb{S}^{m+1}$ 中，哪些具有常平均曲率的紧致超曲面是恰当双调和的？
• RQ3 球面中恰当双调和子流形的平均曲率能否被精确界定或分类？
• RQ4 恰当双调和超曲面与球面中的 $II$-极小化超曲面之间是否存在几何联系？
• RQ5 在 $\mathbb{S}^{m+1}$ 中，是否仅有标准超球面 $\mathbb{S}^m(1/\sqrt{2})$ 和克利福德环面 $\mathbb{S}^{m_1}(1/\sqrt{2}) \times \mathbb{S}^{m_2}(1/\sqrt{2})$ 是恰当双调和的？

主要发现

• 当 $m \geq 4$ 时，$\mathbb{S}^{m+1}$ 中任意紧致的恰当双调和常平均曲率超曲面必须满足 $|H| \in (0, \frac{m-2}{m}] \cup \{1\}$。
• 仅当 $|H| = 1$ 时，超球面 $\mathbb{S}^m(1/\sqrt{2})$ 是恰当双调和超曲面。
• 广义克利福德环面 $\mathbb{S}^1(1/\sqrt{2}) \times \mathbb{S}^{m-1}(1/\sqrt{2})$ 是唯一满足 $|H| = \frac{m-2}{m}$ 的恰当双调和超曲面。
• 所有紧致的恰当双调和常平均曲率超曲面在 $\mathbb{S}^{m+1}$ 中均满足第二基本形式的平方模为 $|B|^2 = m$。
• 超球面 $\mathbb{S}^m(1/\sqrt{2})$ 既是恰当双调和的，也是 $II$-极小化的，非极小的克利福德环面（当 $m_1 \neq m_2$ 时）亦然。
• 在 $\mathbb{S}^{m+1}$ 中，标准超球面与非极小克利福德环面的恰当双调和性与 $II$-极小性等价。