[论文解读] Property A and uniform embedding for locally compact groups

Steven Deprez, Kang Li|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文为局部紧第二可数（l.c.s.c.）群建立了尤氏性质A的类比，证明其与无穷远处的可约性及希尔伯特空间中的统一嵌入等价。该文将带有系数的鲍姆-康奈斯装配映射的分裂单射性推广至所有此类群，推广了斯坎达利、图与尤对离散群所得的结果。

ABSTRACT

For locally compact groups, we define an analogue to Yu's property A that he defined for discrete metric spaces. We show that our property A for locally compact groups agrees with Roe's notion of property A for proper metric spaces, defined in \cite{R05}. We prove that many of the results that are known to hold in the discrete setting, hold also in the locally compact setting. In particular, we show that property A is equivalent to amenability at infinity (see \cite{HR00} for the discrete case), and that a locally compact group with property A embeds uniformly into a Hilbert space (see \cite{Yu00} for the discrete case). We also prove that the Baum-Connes assembly map with coefficients is split-injective, for every locally compact group that embeds uniformly into a Hilbert space. This extends results by Skandalis, Tu and Yu \cite{STY02}, and by Chabert, Echterhoff and Oyono-Oyono \cite{CEO04}.

研究动机与目标

• 为局部紧第二可数（l.c.s.c.）群定义并刻画性质A，将其推广至尤氏在离散度量空间中的定义。
• 建立l.c.s.c.群下性质A、无穷远处可约性与希尔伯特空间中统一嵌入之间的等价性。
• 将带有系数的鲍姆-康奈斯装配映射的分裂单射性推广至所有可统一嵌入希尔伯特空间的l.c.s.c.群。
• 为局部紧情形下性质A与奥萨瓦的精确性概念之间的等价性提供一种替代且初等的证明。
• 通过在紧致豪斯多夫空间上存在哈格鲁普作用来刻画统一希尔伯特空间嵌入。

提出的方法

• 通过变换群胚 $X \rtimes G$ 上的连续、 proper、条件负定核来定义l.c.s.c.群的性质A，类比于尤氏对离散空间的定义。
• 证明新定义的性质A与罗的具有有界几何的完备度量空间的性质A推广之间的等价性。
• 建立性质A与在紧致豪斯多夫空间上存在拓扑可约作用之间的等价性，将希森与罗的结果推广至局部紧情形。
• 使用希森的下降技巧以及查伯特、艾歇尔霍夫与奥约诺-奥约诺的下移函子，推广鲍姆-康奈斯装配映射的分裂单射性。
• 从给定的哈格鲁普作用构造 $X \rtimes G$ 上的连续 proper 条件负定函数，反之亦然，以刻画统一嵌入性。
• 应用希森下降图并结合包含映射 $\mathbb{C} \to C(X)$，通过 $X$ 的 $K$-等变收缩性诱导的同构，证明鲍姆-康奈斯映射是分裂单射的。

实验结果

研究问题

• RQ1 尤氏对离散度量空间定义的性质A是否能自然推广至局部紧群？
• RQ2 l.c.s.c.群的性质A是否与无穷远处可约性等价，如在离散情形中一样？
• RQ3 带有系数的鲍姆-康奈斯装配映射的分裂单射性是否可推广至所有可统一嵌入希尔伯特空间的l.c.s.c.群？
• RQ4 l.c.s.c.群的统一希尔伯特空间嵌入是否等价于在紧致豪斯多夫空间上存在哈格鲁普作用？
• RQ5 对于具有有界几何的完备度量空间，罗与作者的性质A定义是否等价？

主要发现

• l.c.s.c.群的性质A与无穷远处可约性等价，将希森与罗在离散情形下的结果推广至局部紧情形。
• 局部紧群具有性质A当且仅当其在紧致豪斯多夫空间上存在拓扑可约作用。
• 每个具有性质A的局部紧群均可统一嵌入希尔伯特空间，将尤的结果推广至局部紧情形。
• 统一希尔伯特空间嵌入等价于在紧致豪斯多夫空间上存在哈格鲁普作用。
• 对于所有可统一嵌入希尔伯特空间的l.c.s.c.群，带有系数的鲍姆-康奈斯装配映射是分裂单射的。
• 分裂单射性的证明使用了希森的下降与下移函子，关键步骤是状态空间 $X = \text{Prob}(Y)$ 的 $K$-等变收缩性，其在 $K$-同调中诱导同构。