[论文解读] Props of ribbon graphs, involutive Lie bialgebras and moduli spaces of curves

Sergei Merkulov, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文引入了范畴 ℛ𝐺𝑟𝑎_d，即带有标记边、顶点和边界分量的有向带状图的分次向量空间，其上装备了依赖于整数 d 的 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l 群表示。该研究建立了此代数结构与对合李双代数之间的联系，表明 ℛ𝐺𝑟𝑎_d 构成了此类代数的普遍框架，并通过图复形实现了对曲线模空间的解析。

ABSTRACT

We establish a new and surprisingly strong link between two previously unrelated theories: the theory of moduli spaces of curves ${\mathcal M}_{g,n}$ (which, according to Penner, is controlled by the ribbon graph complex) and the homotopy theory of $E_d$ operads (controlled by ordinary graph complexes with no ribbon structure, introduced first by Kontsevich). The link between the two goes through a new intermediate {\em stable}\, ribbon graph complex which has roots in the deformation theory of quantum $A_\infty$ algebras and the theory of Kontsevich compactifications of moduli spaces of curves $\overline{\mathcal M}_{g,n}^K$. Using a new prop of ribbon graphs and the fact that it contains the prop of involutive Lie bialgebras as a subprop we find new algebraic structures on the classical ribbon graph complex computing $H^\bullet(\mathcal M_{g,n})$. We use them to prove Comparison Theorems, and in particular to construct a non-trivial map from the ordinary to the ribbon graph cohomology. On the technical side, we construct a functor $\mathcal O$ from the category of prop(erad)s to the category of operads. If a properad $\mathcal P$ is in addition equipped with a map from the properad governing Lie bialgebras (or graded versions thereof), then we define a notion of $\mathcal P$-``graph'' complex, of stable $\mathcal P$-graph complex and a certain operad, that is in good cases an $E_d$ operad. In the ribbon case, this latter operad acts on the deformation complexes of any quantum $A_\infty$-algebra. We also prove that there is a highly non-trivial, in general, action of the Grothendieck-Teichmüller group $GRT_1$ on the space of so-called {\em non-commutative Poisson structures}\, on any vector space $W$ equipped with a degree $-1$ symplectic form (which interpolate between cyclic $A_\infty$ structures in $W$ and ordinary polynomial Poisson structures on $W$ as an affine space).

研究动机与目标

• 定义一个新的代数结构——范畴 ℛ𝐺𝑟𝑎_d，用于编码带有标记边、顶点和边界分量的有向带状图。
• 通过 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l 构造作用于这些图的群作用，其符号表示依赖于 d。
• 利用与 ℛ𝐺𝑟𝑎_d 关联的图复形，建立对合李双代数的普遍解析。
• 将此图复形的同调与曲线模空间的上同调联系起来。
• 通过图论与代数方法，为理解模空间的 Deligne-Mumford 紧化提供一个框架。

提出的方法

• 定义有向带状图（带边、顶点和边界标记）的同构类集合 𝒪_{m,n}^l。
• 引入群 P_l = 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l，通过边置换和边方向反转作用于这些图。
• 构造 P_l 的表示 sgn_l^{(d)}，其符号基于 d 的奇偶性。
• 为图的空间赋予分次，并在域 𝕂 上定义范畴 ℛ𝐺𝑟𝑎_d 为分次向量空间。
• 利用 d 依赖的符号表示定义图复形上的微分，以编码对合李双代数的代数关系。
• 证明该复形的同调通过 Deligne-Mumford 紧化的解析，计算出曲线模空间的上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用带有标记边、顶点和边界的有向带状图，构建对合李双代数的普遍代数结构？
• RQ2 d 依赖的符号表示 sgn_l^{(d)} 在定义图复形微分中起什么作用？
• RQ3 与 ℛ𝐺𝑟𝑎_d 关联的图复形如何解析对合李双代数的结构？
• RQ4 该图复形的同调与曲线模空间的上同调之间存在何种关系？
• RQ5 范畴 ℛ𝐺𝑟𝑎_d 是否能为模空间的 Deligne-Mumford 紧化提供组合与代数模型？

主要发现

• 范畴 ℛ𝐺𝑟𝑎_d 通过带有 d 依赖符号的图复形，为控制对合李双代数的操ikan提供了普遍解析。
• 群 P_l = 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l 对带状图的作用通过 d 依赖的符号表示 sgn_l^{(d)} 编码。
• 图复形上的微分通过符号表示定义，确保与李双代数关系的相容性。
• 与 ℛ𝐺𝑟𝑎_d 关联的图复形的同调计算出亏格 g、带 n 个标记点的稳定曲线模空间的上同调。
• 该构造建立了模空间的 Deligne-Mumford 紧化与图复形同伦理论之间的联系。
• 该框架将曲线模空间实现为图复形的商，通过带有 d-结构的带状图提供了解析。