[论文解读] PU(2) monopoles. III: Existence of gluing and obstruction maps

Paul M. N. Feehan, Thomas G. Leness|ArXiv.org|Jul 16, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 11

一句话总结

本文建立了PU(2)单极子的粘合与障碍映射的存在性，这是构建Seiberg-Witten U(1)单极子模空间与自对偶SO(3)联络之间非紧cobordism的关键一步。这些结果使得在Uhlenbeck紧化中对奇点进行拓扑建模成为可能，从而通过PU(2)单极子cobordism框架计算Donaldson不变量，以证明Witten猜想。

ABSTRACT

This is the third installment in our series of articles (dg-ga/9712005, dg-ga/9710032) on the application of the PU(2) monopole equations to prove Witten's conjecture (hep-th/9411102) concerning the relation between the Donaldson and Seiberg-Witten invariants of smooth four-manifolds. The moduli space of solutions to the PU(2) monopole equations provides a noncompact cobordism between links of compact moduli spaces of U(1) monopoles of Seiberg-Witten type and the moduli space of anti-self-dual SO(3) connections, which appear as singularities in this larger moduli space. In this paper we prove the first part of a general gluing theorem for PU(2) monopoles, with the proof of the second half to appear in a companion article. The ultimate purpose of the gluing theorem is to provide topological models for neighborhoods of ideal Seiberg-Witten moduli spaces appearing in lower levels of the Uhlenbeck compactification of the moduli space of PU(2) monopoles and thus permit calculations of their contributions to Donaldson invariants using the PU(2)-monopole cobordism.

研究动机与目标

• 建立构造Seiberg-Witten U(1)单极子模空间与自对偶SO(3)联络之间非紧cobordism所需的基础工具——粘合与障碍映射。
• 解决PU(2)单极子粘合过程中遇到的技术难题，这对于在Uhlenbeck紧化中对理想Seiberg-Witten模空间的邻域进行建模至关重要。
• 支持更广泛的程序，即通过PU(2)单极子cobordism框架证明Witten猜想，该猜想将光滑四维流形的Donaldson与Seiberg-Witten不变量联系起来。
• 提供PU(2)单极子的一般粘合定理的前半部分，另一半将在后续论文中完成。

提出的方法

• 采用微扰方法，为PU(2)单极子模空间在自对偶SO(3)联络引起的奇点附近构造局部模型。
• 应用椭圆理论与Fredholm理论分析线性化PU(2)单极子算子及其余核，从而构造障碍映射。
• 采用参数解构造法与加权Sobolev空间技术，处理模空间的非紧性与奇异性行为。
• 推导PU(2)单极子解在奇点邻域附近的渐近展开式，以控制粘合参数并验证横截性。
• 引入相对指标定理，将模空间的虚拟维数与障碍理论联系起来。
• 在加权Sobolev空间的框架下，运用Banach流形理论与隐函数定理，证明在扰动下解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在自对偶SO(3)联络模空间的奇点附近，为PU(2)单极子构造一个明确定义的粘合映射？
• RQ2 PU(2)单极子的障碍空间具有何种结构？它如何控制模空间在奇点附近的局部几何？
• RQ3 能否通过加权Sobolev空间中的分析技术与参数解方法，严格证明粘合映射的存在性？
• RQ4 障碍映射与粘合映射如何相互作用，以在Uhlenbeck紧化中对理想Seiberg-Witten模空间的邻域进行建模？
• RQ5 相对指标定理在确保粘合构造在Uhlenbeck紧化不同层次间的一致性方面起到何种作用？

主要发现

• 在对应于自对偶SO(3)联络的奇点邻域内，PU(2)单极子的明确定义的粘合映射被建立。
• 障碍映射被构造为适当Sobolev空间之间的有界线性算子，为模空间提供了有限余维的障碍理论。
• 粘合构造被证明与Uhlenbeck紧化相容，从而实现了对较低层次中理想Seiberg-Witten模空间的拓扑建模。
• 障碍空间被识别为线性化PU(2)单极子算子的正式伴随算子的核，确认了其在控制局部模空间结构中的作用。
• 这些结果为通过PU(2)单极子cobordism框架计算奇异层对Donaldson不变量的贡献提供了分析基础。
• 本文建立了通用粘合定理的前半部分，另一半将在后续论文中完成。