[论文解读] Pushdown dimension

David Doty, Jared Nichols|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2005

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 1

一句话总结

本文引入下推维数作为算法随机性的一种度量，表明下推自动机可实现严格低于有限状态自动机的维数。对于任意有理数 d ∈ (0,1)，存在一个序列，其有限状态维数为 d，但下推维数至多为 d/2，从而在两个模型之间建立了定量分离。

ABSTRACT

This paper develops the theory of pushdown dimension and explores its relationship with finite-state dimension. Pushdown dimension is trivially bounded above by finite-state dimension for all sequences, since a pushdown gambler can simulate any finite-state gambler. We show that for every rational 0 < d < 1, there exists a sequence with finite-state dimension d whose pushdown dimension is at most d/2. This establishes a quantitative analogue of the well-known fact that pushdown automata decide strictly more languages than finite automata.

研究动机与目标

• 开发下推维数的形式理论，作为算法随机性的度量。
• 研究下推维数与有限状态维数之间的关系。
• 确定下推自动机是否可对某些序列实现严格更低的随机性度量。
• 构造显式序列，以展示两种维数之间的定量分离。

提出的方法

• 基于下推赌徒策略的成功性，将下推维数定义为序列下推维数的下确界。
• 使用下推自动机模拟有限状态赌徒策略，从而在下推维数上建立有限状态维数的上界。
• 利用算法随机性中的已知技术，构造具有有限状态维数 d 的序列。
• 通过显式构造，证明对于任意有理数 d ∈ (0,1)，存在一个序列，其有限状态维数为 d，但下推维数 ≤ d/2。
• 借助下推自动机识别的语言严格多于有限自动机这一已知层次结构，为维数差距提供依据。
• 应用自动机理论与算法随机性的结果，对可实现的下推维数进行有界控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 下推自动机是否可对某些序列实现严格低于有限状态自动机的算法维数？
• RQ2 对于给定序列，有限状态维数与下推维数之间的最大可能差距是多少？
• RQ3 对于每个有理数 d ∈ (0,1)，是否存在一个序列，其有限状态维数为 d 且下推维数至多为 d/2？
• RQ4 该上界 d/2 对于此类序列是否紧致，或可进一步改进？
• RQ5 下推自动机对有限状态自动机的模拟能力如何转化为维数的降低？

主要发现

• 对于每个有理数 d ∈ (0,1)，存在一个序列，其有限状态维数为 d，但下推维数至多为 d/2。
• 下推维数始终被有限状态维数上界控制，因为下推自动机可模拟任意有限状态赌徒。
• 存在有限状态维数为 d 且下推维数 ≤ d/2 的序列，这确立了两个模型之间严格的定量分离。
• 该结果为经典结论提供了一个维数理论类比：下推自动机识别的语言严格多于有限自动机。
• 该构造表明，对于同一序列，下推自动机可实现显著低于有限状态自动机的随机性度量。
• 该结果确认，即使以维数为度量，下推自动机在算法随机性方面也提供了严格更强的计算模型。