[论文解读] Quadratic variation, p-variation and integration with applications to stock price modelling

Rimas Norvaiša|ArXiv.org|Aug 13, 2001

Stochastic processes and financial applications参考文献 82被引用 12

一句话总结

本文提出了一套基于 p-变差和 λ-变差的新型确定性函数随机积分与二次变差框架，将经典 Riemann-Stieltjes 积分推广至有界 p-变差（p < 2）路径。该研究建立了左、右 Young 积分的存在性及链式法则，定义了 λ-积分与括号函数，并将该理论应用于连续时间演化模型下的股票价格建模与期权定价，表明 p-变差指数估计可实现路径无关对冲与随机过程的近似。

ABSTRACT

The paper develops a calculus for a class of real-valued functions having a quadratic variation. The main result is a solution of the representation problem for a class of evolutions having a quadratic variation. The result is applied to build up an asset pricing model. Also in the paper there are some results concerning an extension of the class of all semimartingales.

研究动机与目标

• 为有界 p-变差（p < 2）函数构建确定性微积分，将经典 Stieltjes 积分推广至光滑或半鞅路径之外的场景。
• 定义并表征有界函数的二次 λ-变差与括号函数 [f]λ，实现对二次变差的路径无关方法。
• 为有界 p-变差函数构造左、右 Young 积分与 λ-积分，确保其存在性与链式法则的有效性。
• 将该理论应用于连续时间股票价格建模，实现无需概率假设的路径无关期权定价与对冲。
• 从样本路径中估计 p-变差指数，并通过具有收敛性保证的离散时间方案近似连续时间模型。

提出的方法

• 引入基于嵌套划分 {λm}（在 [a,b] 上稠密）的 λ-变差概念，将二次 λ-变差定义为平方增量和的极限。
• 定义括号函数 [f]λ = V 为一个非减的有界函数，满足 V(t)−V(s) = limₘ∑[f(xmᵢ)−f(xmᵢ₋₁)]²（s < t）。
• 为 f ∈ Wp[a,b]，g ∈ Wq[a,b] 建立扩展 Riemann-Stieltjes 积分与左/右 Young 积分，其中 p⁻¹ + q⁻¹ > 1。
• 推导扩展 Riemann-Stieltjes 积分与 λ-积分的链式法则，实现对 p-变差路径上的函数微积分。
• 引入乘积 λ-积分与扩展 Doléans 指数，实现在确定性设定下的随机演化类似解法。
• 将该框架应用于基于演化资产定价模型的股票价格建模，表明其几乎必然可通过离散时间模型近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有界 p-变差（p < 2）函数构建独立于概率测度的路径无关随机微积分？
• RQ2 何种条件可确保有界函数的二次 λ-变差及其关联括号函数 [f]λ 存在？
• RQ3 如何为具有 p-变差的函数定义并表征左、右 Young 积分，其适用的链式法则为何？
• RQ4 能否基于 p-变差积分构造并路径无关地近似连续时间股票价格模型？
• RQ5 如何从样本路径中估计 p-变差指数，其对期权定价与对冲有何影响？

主要发现

• 函数 f ∈ Qλ[a,b] 的二次 λ-变差存在，当且仅当沿嵌套划分序列的平方增量和的极限收敛于一个有界函数 V = [f]λ。
• 对于 f ∈ Wp[a,b] 与 g ∈ Wq[a,b]，且满足 p⁻¹ + q⁻¹ > 1，扩展 Riemann-Stieltjes 积分 ∫g df 存在，并满足链式法则。
• 左、右 Young 积分对有界 p-变差（p < 2）函数存在且定义良好，支持路径无关微积分。
• 构建了乘积 λ-积分与扩展 Doléans 指数，可求解增强型线性 λ-积分方程。
• 提出一种演化资产定价模型，其中股票价格路径通过 λ-积分建模，实现路径无关的期权定价与对冲。
• 可从样本路径中估计 p-变差指数，且该模型可几乎必然地通过离散时间方案近似连续时间动态。