[论文解读] Quantitative estimates for regular Lagrangian flows with $BV$ vector fields

Quoc‐Hung Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 37被引用 7

一句话总结

本文为属于 $L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d) + L^\infty(\mathbb{R}^d))$ 的向量场所关联的正则拉格朗日流建立了定量估计，该向量场的分量为奇异核与 $BV$ 函数的卷积，并在散度条件下成立。本文证明了在这些条件下流的适定性，并构造了一个反例，表明在二维情况下，对于某个 $BV$ 向量场，正则拉格朗日流不唯一。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of flows associated to non-smooth vector fields. We prove the well-posedness of regular Lagrangian flows associated to vector fields $\mathbf{B}=(\mathbf{B}^1,...,\mathbf{B}^d)\in L^1(\mathbb{R}_+;L^1(\mathbb{R}^d)+L^\infty(\mathbb{R}^d))$ satisfying $ \mathbf{B}^i=\sum_{j=1}^{m}\mathbf{K}_j^i*b_j,$ $b_j\in L^1(\mathbb{R}_+,BV(\mathbb{R}^d))$ and $\operatorname{div}(\mathbf{B})\in L^1(\mathbb{R}_+;L^\infty(\mathbb{R}^d))$ for $d,m\geq 2$, where $(\mathbf{K}_j^i)_{i,j}$ are singular kernels in $\mathbb{R}^d$. Moreover, we also show that there exist an autonomous vector-field $\mathbf{B}\in L^1(\mathbb{R}^2)+L^\infty(\mathbb{R}^2)$ and singular kernels $(\mathbf{K}_j^i)_{i,j}$, singular Radon measures $μ_{ijk}$ in $\mathbb{R}^2$ satisfying $\partial_{x_k} \mathbf{B}^i=\sum_{j=1}^{m}\mathbf{K}_j^i\starμ_{ijk}$ in distributional sense for some $m\geq 2$ and for $k,i=1,2$ such that regular Lagrangian flows associated to vector field $\mathbf{B}$ are not unique.

研究动机与目标

• 为具有 $L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d) + L^\infty(\mathbb{R}^d))$ 结构的非光滑向量场所驱动的正则拉格朗日流建立定量估计，其分量为 $BV$ 函数的奇异积分形式。
• 在向量场及其散度的这些结构假设下，证明正则拉格朗日流的适定性。
• 在二维空间中构造一个反例，表明存在一个属于 $L^1(\mathbb{R}^2) + L^\infty(\mathbb{R}^2)$ 的向量场，其导数可表示为奇异 Radon 测度的奇异积分，使得相应的正则拉格朗日流不唯一。

提出的方法

• 通过精细分析 Kakeya 型极大奇异积分算子，控制重整化框架中流的正则性与换位子。
• 应用一个依赖于时间的泛函 $\Phi_\delta(t)$，用于度量两个流之间的对数距离，借助 Hardy-Littlewood 极大函数推导出定量估计。
• 采用一种针对向量场奇异部分 $DsB$ 结构量身定制的特殊正则化核 $\rho$，确保当 $\text{trace}(M(x))|DsB|(x) = 0$ 时，缺陷测度 $\sigma$ 消失。
• 提出一种新颖的奇异核与 Radon 测度构造方法，实现导数为测度奇异积分算子的向量场，从而实现反例构造。
• 依赖于 $L^p$ 空间上极大函数的有界性（$p > 1$）以及流的雅可比行列式结构，控制流差值的增长。
• 使用 dyadic 分解与层叠分解（layer-cake decomposition）对水平集进行估计，以估计两个流发散的集合的测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在向量场 $B$ 的分量具有 $BV$ 类型且散度属于 $L^1$ 的结构假设下，正则拉格朗日流在何种条件下是唯一适定的？
• RQ2 能否在 $BV$ 设置下，利用极大函数与奇异积分算子推导出两个流差值的定量估计？
• RQ3 是否可能构造一个属于 $L^1(\mathbb{R}^2) + L^\infty(\mathbb{R}^2)$ 且具有 $BV$ 类型结构的向量场，使得其对应的正则拉格朗日流不唯一？
• RQ4 奇异部分 $DsB$ 的结构在换位子收敛性与缺陷测度 $\sigma$ 消失过程中起什么作用？
• RQ5 Kakeya 型极大奇异积分算子如何在 $BV$ 设置下控制流的正则性？

主要发现

• 对于满足 $B_i = \sum_{j=1}^m K_j^i * b_j$，$b_j \in L^1(\mathbb{R}_+; BV(\mathbb{R}^d))$，且 $\text{div}(B) \in L^1(\mathbb{R}_+; L^\infty(\mathbb{R}^d))$ 的向量场 $B = (B_1, \dots, B_d)$，在维度 $d, m \geq 2$ 下，正则拉格朗日流的适定性得以建立。
• 本文构造了一个自治向量场 $B \in L^1(\mathbb{R}^2) + L^\infty(\mathbb{R}^2)$，使得其在分布意义下满足 $\partial_{x_k} B_i = \sum_{j=1}^m K_j^i * \mu_{ijk}$，其中 $\mu_{ijk}$ 为奇异 Radon 测度，并证明其对应的正则拉格朗日流不唯一。
• 反例依赖于在圆周上构造齐次的 $L^\infty \cap BV$ 函数 $\tilde{\Omega}_j$，使得 $R_j^2((\chi_{|x|} - \chi_{|x|/2})\nu)(x) = \tilde{\Omega}_j(x)/|x|^2$，这些函数为齐次度 $-2$ 且在 $S^1$ 上均值为零。
• 非唯一性证明的关键在于：导数的奇异部分 $DsB$ 非零，但其沿奇异核方向的迹为零，从而即使在非光滑情况下，缺陷测度仍可消失。
• 通过时间依赖泛函 $\Phi_\delta(t)$ 推导出定量估计，得到 $L^d(\{x \in B_R : |X_1(t,x) - X_2(t,x)| > \delta^{1/2}\}) \lesssim |\log \delta|^{-1}$，当 $\delta \to 0$ 时，该估计蕴含唯一性。
• 该方法可推广至二维空间中局部沿流方向满足假设的 $L^1(BV)$ 向量场，表明 De Lellis-Crippa 方法无法控制导数的奇异部分。