[论文解读] Quantitative Estimates on Periodic Homogenization of Nonlinear Elliptic Operators

Li Wang, Qiang Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文为具有非线性、非单调算子的拟线性椭圆方程周期均质化建立了定量误差估计。基于 Shen（2013）的实变量方法，对 $C^{1,1}$ 域得到 $L^2$ 范数下 $O(ε^{1/2})$ 的收敛率，对 Lipschitz 域得到 $O(ε^{\sigma})$ 的收敛率（其中 $\sigma < 1/2$），并由此导出在系数与定义域仅满足周期性与有界性假设下、对 $2 \leq p < \infty$ 的全局 $W^{1,p}$ 估计。

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the periodic homogenization of quasilinear elliptic equations. We obtain error estimates $O(\varepsilon^{1/2})$ for a $C^{1,1}$ domain, and $O(\varepsilon^σ)$ for a Lipschitz domain, in which $σ\in(0,1/2)$ is close to zero. Based upon the convergence rates, an interior Lipschitz estimate, as well as a boundary Hölder estimate can be developed at large scales without any smoothness assumption, and these will implies reverse Hölder estimates established for a $C^1$ domain. By a real method developed by Z.Shen \cite{S3}, we consequently derive a global $W^{1,p}$ estimate for $2\leq p

研究动机与目标

• 建立具有非线性、非单调算子的拟线性椭圆方程周期均质化的定量收敛速率。
• 将先前针对线性均质化的结果推广至非线性情形，特别是对 $2 \leq p < \infty$ 建立 $W^{1,p}$ 估计。
• 在系数与定义域的正则性假设最小化的前提下，建立大尺度内部 Lipschitz 估计与边界 Hölder 估计。
• 通过实变量方法将已知的反向 Hölder 不等式与全局 $W^{1,p}$ 估计推广至非线性情形。

提出的方法

• 将 Shen（2013）中的实变量方法适配于处理非线性、非单调椭圆算子的散度型形式。
• 通过双尺度展开与校正理论建立误差估计，利用系数 $A(y,z)$ 的强制性与 Hölder 连续性。
• 通过将解与调和函数进行比较，并使用 Campanato 型衰减估计，推导大尺度内部 Lipschitz 估计。
• 应用覆盖论证与极大函数估计，将梯度的局部 $L^p$ 有界性转化为全局 $W^{1,p}$ 估计。
• 利用 $L^2$ 收敛率控制大尺度梯度的振荡，从而导出反向 Hölder 不等式。
• 在能量估计中使用 Poincar{\'e} 不等式与 Young 不等式，以控制解与其近似值之间的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^2$ 范数下，具有周期系数的拟线性椭圆方程的解的最优收敛率是多少？
• RQ2 能否在不假设系数或定义域具有 $C^1$ 正则性的情况下，为非线性椭圆方程建立 $W^{1,p}$ 估计？
• RQ3 在最小正则性假设下，非线性算子的大尺度内部 Lipschitz 估计与边界 Hölder 估计行为如何？
• RQ4 Shen 的实变量方法能否推广至非线性情形，以导出全局 $W^{1,p}$ 估计？
• RQ5 收敛率对定义域正则性的依赖关系如何，特别是对于 Lipschitz 域与 $C^{1,1}$ 域的对比？

主要发现

• 对于 $C^{1,1}$ 域，$L^2$ 收敛率为 $O(\varepsilon^{1/2})$，常数依赖于 $\mu_0$、$\mu_2$、$d$、$r_0$ 以及定义域的特征。
• 对于 Lipschitz 域，收敛率为 $O(\varepsilon^{\sigma})$，其中 $\sigma = 1/2 - 1/p$（$p > 2$），依赖于 $\|F\|_{L^p}$ 与 $\|g\|_{W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)}$。
• 在无光滑性假设下，建立了大尺度下的内部 Lipschitz 估计，适用于 $\sqrt[3]{\varepsilon} \leq r < 1/4$，梯度控制依赖于源项的 $L^2$ 平均值与 $L^p$ 范数。
• 对于 $C^1$ 域，推导出 $2 \leq p < \infty$ 的全局 $W^{1,p}$ 估计，梯度范数受 $\|F\|_{L^p}$、$\|f\|_{L^p}$ 与 $\|g\|_{W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)}$ 控制。
• 结果表明，在 $C^1$ 域中，即使系数或定义域不光滑，梯度也满足反向 Hölder 估计。
• 该方法可无显著修改地推广至 Neumann 边界问题，表明该方法具有鲁棒性。