[论文解读] Quantization of Poisson algebras associated to Lie algebroids

N.P. Landsman, Birant Ramazan|ArXiv.org|Jan 4, 2000

Advanced Topics in Algebra被引用 12

一句话总结

本文建立了可积李代数群胚对偶上经典泊松结构的严格形变量子化，证明了李群胚的C*-代数自然地作为量子化结果出现。该构造依赖于切丛群胚和连续C*-代数族，其纤维在普朗克尺度参数取值下同构于经典代数与量子代数。

ABSTRACT

We prove the existence of a strict deformation quantization for the canonical Poisson structure on the dual of an integrable Lie algebroid. It follows that any Lie groupoid C*-algebra may be regarded as a result of a quantization procedure. The C*-algebra of the tangent groupoid of a given Lie groupoid G (with Lie algebra g) is the C*-algebra of a continuous field of C*-algebras over R with fibers A_0=C*(g)=C_0(g*) and A_h=C*(G) for nonzero h. The same is true for the corresponding reduced C*-algebras. Our results have applications to, e.g., transformation group C*-algebras, K-theory, and index theory.

研究动机与目标

• 为可积李代数群胚相关的泊松代数建立严格的量子化程序。
• 证明李群胚的C*-代数作为严格形变量子化的结果出现。
• 将Weyl量子化和Moyal乘积结构推广至李群胚及其切丛群胚的设定中。
• 通过连续C*-代数族将形变量子化与指标理论及K-理论联系起来。
• 通过李代数群胚结构将几何量子化思想扩展至非辛泊松流形。

提出的方法

• 构建李群胚G的切丛群胚，其为ℝ上的连续C*-代数族，其中ℏ=0时的纤维为C*(A(G))，ℏ≠0时的纤维为C*(G)。
• 对泊松代数C₀(A*(G))应用严格形变量子化，使用基于李群胚的Weyl量子化映射。
• 利用向量丛上的傅里叶变换和局部群胚结构来定义量子化映射。
• 采用连续C*-代数族的概念，将形变实现为一参数代数族。
• 依赖于给定李代数群胚存在全局李群胚积分以确保构造的良定义性。
• 通过切丛群胚构造，将Rieffel的严格量子化框架扩展至非交换和非辛的设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为可积李代数群胚对偶上的经典泊松结构构造严格形变量子化？
• RQ2 在该量子化框架中，李群胚的C*-代数如何作为其量子对应物出现？
• RQ3 切丛群胚在实现连接经典与量子可观测量的连续C*-代数族中起什么作用？
• RQ4 能否利用此量子化框架将Atiyah–Singer指标定理推广至任意李群胚？
• RQ5 是否可通过局部群胚构造将此量子化方法推广至非可积李代数群胚？

主要发现

• 可积李代数群胚对偶上的经典泊松结构存在严格形变量子化。
• 李群胚G的C*-代数在ℏ≠0时作为量子代数实现，而经典代数C₀(A*(G))在ℏ=0时出现。
• 切丛群胚构造在ℝ上产生一个连续C*-代数族，其在ℏ=0和ℏ≠0时的纤维分别为C₀(A*(G))和C*(G)。
• 当M=ℝⁿ且具有平坦度量时，该量子化重现了Moyal乘积，证实与标准形变量子化的一致性。
• 量子化映射满足狄拉克条件：对所有f,g属于泊松代数，有(iℏ)⁻¹[Q(f), Q(g)] = Q({f,g})。
• 该框架为将指标理论推广至任意李群胚提供了路径，其中指标取值于K₀(C*(G))。