[论文解读] Quantum algorithms for computing observables of nonlinear partial differential equations

Shi Jin, Nana Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 15

一句话总结

该论文提出了一种精确的量子算法，用于通过水平集方法将非线性偏微分方程（PDEs）如哈密顿-雅可比方程和标量双曲型PDEs映射为线性PDEs，从而计算其可观测量。该方法在维度和误差方面实现了指数级加速，且计算成本与初始数据数量$M$无关，可在单次量子计算中实现对$M$个初始条件的系综平均。该方法为精确、全局时间有效（in time）的非线性PDEs量子模拟提供了框架，利用HHL算法高效求解所得线性系统。

ABSTRACT

We construct quantum algorithms to compute physical observables of nonlinear PDEs with M initial data. Based on an exact mapping between nonlinear and linear PDEs using the level set method, these new quantum algorithms for nonlinear Hamilton-Jacobi and scalar hyperbolic PDEs can be performed with a computational cost that is independent of M, for arbitrary nonlinearity. Depending on the details of the initial data, it can also display up to exponential advantage in both the dimension of the PDE and the error in computing its observables. For general nonlinear PDEs, quantum advantage with respect to M is possible in the large M limit.

研究动机与目标

• 开发能够计算具有任意非线性性及多个初始数据的非线性PDEs物理可观测量的量子算法。
• 克服近似线性化方法引入误差或在非线性增强时性能退化的局限性。
• 在计算成本上实现与初始数据数量$M$无关的量子优势。
• 通过单次量子模拟高效计算$M$个初始条件下的系综平均。
• 建立一种通过线性表示实现非线性PDEs精确、全局时间有效量子模拟的框架，无需截断或近似。

提出的方法

• 利用水平集形式将$(d+1)$-维非线性PDEs映射为最多$(2d+1)$-维线性输运PDEs，精确保留所有物理信息。
• 将求解$M$个初始数据情形的问题简化为在更高维线性PDE中仅需一个初始数据的情形，从而通过一次量子运行实现系综可观测量的计算。
• 采用满足稳定性条件$D\frac{\triangle t}{h} \leq 1$的稳定有限差分格式对线性PDE进行离散化，确保数值鲁棒性。
• 将离散化系统表示为大型稀疏矩阵$\mathcal{K}_{\text{ODE}}$，并进一步转换为适合HHL基量子矩阵求逆的厄米特矩阵$\mathcal{M}_{\text{ODE}}$。
• 应用HHL算法对$\mathcal{M}_{\text{ODE}}$进行求逆，实现在条件数$\kappa \lesssim DNT$和稀疏度$s \sim D$下的线性系统求解的量子加速。
• 通过离散解$\Phi_{n,\boldsymbol{j}}$的量子期望值估算物理可观测量，误差界为$\epsilon_c \leq C(Dh)^{1/3}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在不依赖近似或截断的前提下，实现对非线性PDEs的计算优势？
• RQ2 是否可能以与$M$无关的成本计算$M$个初始数据配置的可观测量？
• RQ3 水平集方法能否在不损失信息的前提下，实现非线性PDEs的精确、全局时间有效线性表示？
• RQ4 该方法在非线性PDEs可观测量上可实现的量子加速在维度和误差方面达到何种程度？
• RQ5 在系统维度增加的情况下，基于HHL的矩阵求逆是否仍能保持量子优势？

主要发现

• 所提出的量子算法实现了与初始数据数量$M$无关的计算成本，可在单次量子运行中高效实现$M$个配置的系综平均。
• 对于某些类别的非线性PDEs，包括哈密顿-雅可比方程和标量双曲型方程，该方法在空间维度和误差容限方面均实现了高达指数级的量子加速。
• 水平集映射将非线性PDEs转换为最多$(2d+1)$维的线性PDEs，确保无近似或截断的精确表示。
• 估算物理可观测量的误差受$\epsilon_c \leq C(Dh)^{1/3}$约束，其中$h$为空间网格尺寸，$D$为空间维数。
• 作为实现量子加速的关键步骤，矩阵求逆通过HHL在厄米特矩阵$\mathcal{M}_{\text{ODE}}$上实现，其条件数$\kappa \lesssim DNT$，稀疏度$s \sim D$，从而保持了量子优势。
• 该方法在时间上全局有效，对任意非线性性均保持物理保真度，克服了Carlemann线性化及其他近似技术的局限性。