[论文解读] Quantum Amplitude Amplification and Estimation

Gilles Brassard, Peter Høyer+2 more|May 15, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 545

一句话总结

本文引入了量子振幅放大，这是对Grover算法的推广，即使在成功振幅未知的情况下，也能在查找数据库中的标记项时实现二次加速。此外，本文进一步发展了振幅估计，以实现最优的量子近似计数，提供一种使用 O(1/√ε) 次查询（误差为 ε）高精度估计解的数量的方法。

ABSTRACT

Consider a Boolean function $χ: X o \{0,1\}$ that partitions set $X$ between its good and bad elements, where $x$ is good if $χ(x)=1$ and bad otherwise. Consider also a quantum algorithm $\mathcal A$ such that $A |0 angle= \sum_{x\in X} α_x |x angle$ is a quantum superposition of the elements of $X$, and let $a$ denote the probability that a good element is produced if $A |0 angle$ is measured. If we repeat the process of running $A$, measuring the output, and using $χ$ to check the validity of the result, we shall expect to repeat $1/a$ times on the average before a solution is found. *Amplitude amplification* is a process that allows to find a good $x$ after an expected number of applications of $A$ and its inverse which is proportional to $1/\sqrt{a}$, assuming algorithm $A$ makes no measurements. This is a generalization of Grover's searching algorithm in which $A$ was restricted to producing an equal superposition of all members of $X$ and we had a promise that a single $x$ existed such that $χ(x)=1$. Our algorithm works whether or not the value of $a$ is known ahead of time. In case the value of $a$ is known, we can find a good $x$ after a number of applications of $A$ and its inverse which is proportional to $1/\sqrt{a}$ even in the worst case. We show that this quadratic speedup can also be obtained for a large family of search problems for which good classical heuristics exist. Finally, as our main result, we combine ideas from Grover's and Shor's quantum algorithms to perform amplitude estimation, a process that allows to estimate the value of $a$. We apply amplitude estimation to the problem of *approximate counting*, in which we wish to estimate the number of $x\in X$ such that $χ(x)=1$. We obtain optimal quantum algorithms in a variety of settings.

研究动机与目标

• 将Grover的量子搜索算法推广至非均匀叠加态，适用于任意具有未知成功振幅的量子算法。
• 开发一种振幅放大方法，即使成功概率未知，也能在经典搜索基础上实现二次加速。
• 通过振幅估计，设计一种最优的量子近似计数算法，以估计数据库中标记项的数量。
• 提供一个框架，将振幅放大与振幅估计相结合，以解决具有已知经典启发式方法的一类广泛搜索问题。
• 在有界误差下实现最优查询复杂度，确保对估计计数结果具有高置信度。

提出的方法

• 将振幅放大引入为一种酉变换，通过类似Grover扩散的反射过程，迭代地增加量子叠加态中标记态的振幅。
• 应用Grover迭代以放大好状态的振幅，将经典情况下所需的调用次数从 O(1/a) 降低至量子情况下的 O(1/√a)。
• 通过在受控的振幅放大算符上应用相位估计算法，发展振幅估计以估计成功概率 a。
• 利用相位估计与角度 θ = arcsin(√a) 之间的关系，使用 O(1/ε) 次查询以精度 ε 估计 a。
• 通过结合振幅估计与受控振幅放大框架，构建近似计数算法，采用自适应查询调度。
• 采用混合方法：通过组合对 √(N/(t+1)) 和 √((N−t)/εN) 的估计，最终使用修改后的 Count 算法得出计数结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 振幅放大能否推广至任意量子算法，而不仅限于均匀叠加态，且在成功振幅未知时仍有效？
• RQ2 当成功概率未知时，估计布尔函数解的数量的最优量子查询复杂度是多少？
• RQ3 振幅估计能否用于实现具有有界误差和最小查询开销的最优近似计数？
• RQ4 与经典重复采样相比，振幅放大在寻找好解时的期望查询次数有何差异？
• RQ5 在使用振幅估计进行量子近似计数时，精度与查询复杂度之间的权衡是什么？

主要发现

• 振幅放大实现了二次加速，将期望调用次数从经典情况下的 O(1/a) 降低至 O(1/√a)。
• 即使成功振幅 a 未知，该算法仍能保持 O(1/√a) 的期望复杂度。
• 当 a 已知时，该算法最坏情况下可在 O(1/√a) 次调用内找到好解，与目前已知的最佳界限一致。
• 振幅估计可使用 O(1/ε) 次查询以精度 ε 估计成功概率 a，从而实现高置信度的近似计数。
• 近似计数算法在期望查询复杂度为 O(S′) 时，成功概率至少为 2/3，其中 S′ 是最优边界的 Θ 表示。
• 最终算法输出估计值 t̃，使得 |t̃ − t| ≤ εt 的概率大于 2/3，实现了近似计数的最优误差标度。