[论文解读] Quantum Arthur-Merlin Games

Chris Marriott, John Watrous|ArXiv.org|Jun 15, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文引入了量子阿瑟-梅林游戏（quantum Arthur-Merlin games），即阿瑟使用公开随机性的量子版本经典交互式证明系统，梅林发送量子信息。研究证明，在单消息量子阿瑟-梅林游戏（QMA）中，错误可被指数级降低而无需增加消息长度，从而得出关键结论，如 QMA ⊆ PP，以及长度为对数的量子证明态并不使计算能力超越 BQP。

ABSTRACT

This paper studies quantum Arthur-Merlin games, which are Arthur-Merlin games in which Arthur and Merlin can perform quantum computations and Merlin can send Arthur quantum information. As in the classical case, messages from Arthur to Merlin are restricted to be strings of uniformly generated random bits. It is proved that for one-message quantum Arthur-Merlin games, which correspond to the complexity class QMA, completeness and soundness errors can be reduced exponentially without increasing the length of Merlin's message. Previous constructions for reducing error required a polynomial increase in the length of Merlin's message. Applications of this fact include a proof that logarithmic length quantum certificates yield no increase in power over BQP and a simple proof that QMA is contained in PP. Other facts that are proved include the equivalence of three (or more) message quantum Arthur-Merlin games with ordinary quantum interactive proof systems and some basic properties concerning two-message quantum Arthur-Merlin games.

研究动机与目标

• 形式化量子阿瑟-梅林游戏，其中阿瑟使用公开随机性，梅林发送量子信息，将经典 AM 复杂度类扩展至量子领域。
• 研究在阿瑟消息仅为均匀生成的随机位这一约束下，量子交互式证明系统的计算能力与结构。
• 解决 QMA 中的错误降低问题，证明完备性与错误概率可被指数级降低，而无需增加梅林的量子消息长度。
• 建立新的量子复杂度类之间的关系，包括 QMA ⊆ PP，以及多消息量子阿瑟-梅林游戏与量子交互式证明系统之间的等价性。
• 探讨错误降低对量子证明态能力的影响，以及 BQP 与 QMA 之间的关系。

提出的方法

• 将量子阿瑟-梅林游戏定义为量子交互式证明系统，其中阿瑟的消息为公开随机位，梅林可发送量子态。
• 利用量子态保真度与 Fuchs-van de Graaf 不等式，通过量子操作与密度矩阵的性质，界定单消息协议中的错误概率。
• 为 QMAM（三消息量子阿瑟-梅林游戏）构建并行重复协议，实现错误概率的指数级降低，依赖于已知的量子交互式证明系统结果。
• 证明任意多项式消息的量子阿瑟-梅林游戏可通过并行化转化为三消息量子交互式证明系统，从而与三消息量子阿瑟-梅林游戏等价。
• 应用错误降低技术，证明对任意多项式 r，有 QIP = QMAM(1, 2^(-r))，意味着 QIP 可被具有指数小错误的单消息量子阿瑟-梅林游戏模拟。
• 利用量子见证模型证明，对数长度的量子证明态不会增加 BQP 的计算能力，因为错误可被降低而无需扩展消息大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单消息量子阿瑟-梅林游戏（QMA）中，是否可实现错误的指数级降低，而无需增加梅林的量子消息长度？
• RQ2 是否存在一个预言机，使得 QMA 不包含于 AM，或 QAM 不属于 PH，从而揭示 BQP 与 PH 之间的关系？
• RQ3 量子版本的“几乎-NP = AM”是否成立，即“几乎-QMA = QAM”是否成立？
• RQ4 三消息或更多消息的量子阿瑟-梅林游戏是否在计算能力上等价于三消息量子交互式证明系统？
• RQ5 能否通过本文开发的错误降低技术，证明 QMA ⊆ PP？

主要发现

• QMA 中的错误可被指数级降低，而无需增加梅林的量子消息长度，解决了以往构造中需多项式增长消息长度的关键限制。
• 通过一个简洁的证明，确立了 QMA ⊆ PP，该证明依赖于 QMA 中的指数错误降低。
• 对数长度的量子证明态不会使计算能力超越 BQP，因为错误降低无需消息扩展。
• 三消息或更多消息的量子阿瑟-梅林游戏与三消息量子交互式证明系统在计算能力上等价，这是由于并行化技术的应用。
• 任何属于 QIP 的语言，都存在一个具有完美完备性的三消息量子阿瑟-梅林游戏，其错误概率为 2^(-r)（对任意多项式 r），意味着 QIP = QMAM(1, 2^(-r))。
• 在 QMAM 协议中，错误概率在并行重复下呈指数级下降，因为梅林无法通过在重复中纠缠策略来获益。