[论文解读] Quantum Communication Cannot Simulate a Public Coin

Dmitry Gavinsky, Julia Kempe+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用 21

一句话总结

本文证明了量子同时消息传递（SMP）协议无法高效模拟经典公开随机协议，首次建立了两种模型之间的指数级分离。尽管经典公开随机协议仅需 O(log n) 位即可解决关系型汉明距离问题，量子协议却需要 Ω(√n) 量子比特，证明在SMP模型中，公开随机性无法被量子通信高效替代。

ABSTRACT

We study the simultaneous message passing model of communication complexity. Building on the quantum fingerprinting protocol of Buhrman et al., Yao recently showed that a large class of efficient classical public-coin protocols can be turned into efficient quantum protocols without public coin. This raises the question whether this can be done always, i.e. whether quantum communication can always replace a public coin in the SMP model. We answer this question in the negative, exhibiting a communication problem where classical communication with public coin is exponentially more efficient than quantum communication. Together with a separation in the other direction due to Bar-Yossef et al., this shows that the quantum SMP model is incomparable with the classical public-coin SMP model. In addition we give a characterization of the power of quantum fingerprinting by means of a connection to geometrical tools from machine learning, a quadratic improvement of Yao's simulation, and a nearly tight analysis of the Hamming distance problem from Yao's paper.

研究动机与目标

• 确定在同时消息传递（SMP）模型中，量子通信是否能高效模拟经典公开随机协议。
• 解决姚2004年关于量子指纹识别与公开随机模拟工作之后提出的一个开放问题。
• 建立一个具体的关系型问题，其中量子通信的效率远低于经典公开随机通信。
• 刻画量子指纹识别的局限性，并改进汉明距离问题上量子协议的界。

提出的方法

• 构造一个关系型问题：Alice持有 x ∈ {0,1}^n，Bob持有 y 和 s，满足 |s| = n/2，接收方必须对某个满足 s_i = 1 的 i 输出 (i, x_i, y_i)。
• 证明经典公开随机协议可通过减少错误的随机化相等性测试，以 O(log n) 位通信解决该问题。
• 通过归约至量子随机访问编码，利用Nayak对量子比特需求的界，建立 Ω(√n) 量子比特的下界。
• 利用量子指纹映射的线性性质，模拟指纹上的局部位翻转，实现对汉明距离的测试，使用 O(d(log n)^2) 量子比特处理 d 位差异。
• 改进姚的工作，表明每个 c 位公开随机协议可被 O(2^{2c}(c + log n)) 量子比特模拟，相比先前工作实现二次改进。
• 通过同质半空间的几何排列刻画最优量子指纹识别，将其与基于间隔的学习工具联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 SMP模型中，每个高效的经典公开随机协议是否都能被无公开随机性的量子协议高效模拟？
• RQ2 是否存在一个关系型问题，使得量子SMP通信复杂度远高于经典公开随机复杂度？
• RQ3 对于有界差异的汉明距离问题，最优量子通信代价是多少？
• RQ4 量子指纹识别与机器学习中的几何间隔最大化有何关联？
• RQ5 该指数级分离能否推广到布尔函数而非关系问题？

主要发现

• 存在一个关系型问题，使得经典公开随机SMP协议仅需 O(log n) 位通信，而任何量子SMP协议均需 Ω(√n) 量子比特，证明了指数级分离。
• 即使在无限先验纠缠下，Ω(√n) 量子比特的下界依然成立，表明该限制并非源于纠缠资源不足。
• 针对 d 位差异的汉明距离问题，量子协议使用 O(d(log n)^2) 量子比特，该结果接近最优，因为单向协议的 Ω(d) 下界已存在。
• 在经典 c 位公开随机协议的模拟中实现了二次改进：O(2^{2c}(c + log n)) 量子比特已足够，优于姚的 O(2^{4c} log n) 边界。
• 量子指纹识别可几何刻画为同质半空间排列所能达到的最大间隔，将量子通信与学习理论联系起来。
• 本文未解决布尔函数是否存在类似指数差距，但提出了一个候选函数。