[论文解读] Quantum Computation of Jones' Polynomials

V. Subramaniam, P. Ramadevi|ArXiv.org|Oct 12, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文提出了一种量子算法，通过六-vertex模型得到的 braid group 生成元的酉表示，计算由 2n-辫子导出的纽结和链结的 Jones 多项式。通过将辫子字映射为酉量子门的乘积，该算法将 Jones 多项式的模平方作为测量概率，成功地对所有非手性纽结和链结（归一化前）精确计算出 Jones 多项式。

ABSTRACT

It is a challenging problem to construct an efficient quantum algorithm which can compute the Jones' polynomial for any knot or link obtained from platting or capping of a $2n$-strand braid. We recapitulate the construction of braid-group representations from vertex models. We present the eigenbases and eigenvalues for the braiding generators and its usefulness in direct evaluation of Jones' polynomial. The calculation suggests that it is possible to associate a series of unitary operators for any braid word. Hence we propose a quantum algorithm using these unitary operators as quantum gates acting on a $2n$ qubit state. We show that the quantum computation gives Jones' polynomial for achiral knots and links.

研究动机与目标

• 开发一种高效计算由辫子导出的纽结和链结的 Jones 多项式的量子算法。
• 通过利用量子计算，解决 Jones 多项式计算的经典 #P-难问题。
• 建立辫子字与作用于 2n-量子比特寄存器的酉算符之间的直接对应关系。
• 证明演化态的量子测量概率可给出 Jones 多项式的模平方。
• 证明对于非手性纽结和链结，由于矩阵元为实数，该算法可精确计算 Jones 多项式（归一化前）。

提出的方法

• 使用六-vertex 模型（N=2）的 R-矩阵构造 braid group 表示，对应于 2n-辫子。
• 对辫子生成元进行对角化，以获得本征值和本征态，从而通过受控操作实现酉演化。
• 将完整的辫子字表示为作用于 2n-量子比特希尔伯特空间的 duality 矩阵与对角辫子矩阵的酉算符乘积。
• 通过将初始态制备为 |0⟩^⊗2n（表示杯态），实现量子算法，并应用对应于辫子字的酉演化 U_B。
• 测量概率振幅 |⟨0|U_B|0⟩|²，该值对应于 Jones 多项式的模平方。
• 对于非手性纽结，矩阵元 ⟨0|U_B|0⟩ 为实数，因此测量概率可直接给出 Jones 多项式（归一化前）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用量子算法高效计算由辫子导出的纽结和链结的 Jones 多项式？
• RQ2 如何将来自顶点模型的辫子群生成元映射为用于量子计算的酉量子门？
• RQ3 辫子矩阵的本征基和本征值在实现 Jones 多项式直接计算中起什么作用？
• RQ4 在何种条件下，量子测量概率可精确对应于 Jones 多项式本身，而非其模平方？
• RQ5 该量子算法能否扩展至计算所有纽结的 Jones 多项式，还是仅限于如非手性纽结等子类？

主要发现

• 任何由 2n-辫子导出的纽结或链结的 Jones 多项式，均可表示为矩阵元 ⟨0|U_B|0⟩ 的模平方，其中 U_B 是由辫子群表示构造的酉算符。
• 对于非手性纽结和链结，矩阵元 ⟨0|U_B|0⟩ 为实数，因此量子测量可直接给出 Jones 多项式（归一化前）。
• 酉表示 U_B 由 duality 矩阵与对角辫子矩阵导出的 2n-量子比特酉算符构成，其门数最多为辫子字长度的两倍。
• 该方法依赖于从六-vertex 模型获得的辫子生成元的本征基和本征值，从而实现多项式的显式计算。
• 该算法表明，尽管经典计算问题具有 #P-难复杂度，但量子计算仍可高效计算一类非平凡纽结的 Jones 多项式。
• 该框架为基于统计力学模型导出的酉门实现拓扑量子计算提供了具体实现方案。