[论文解读] Quantum Discrete Fourier Transform with Classical Output for Signal Processing

Chao-Yang Pang, Ben-Qiong Hu|ArXiv.org|Jun 17, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于一维和二维离散傅里叶变换的量子算法（QDFT），可输出经典结果，时间复杂度分别为 $O(\sqrt{N})$ 和 $O(N)$，显著快于经典FFT。通过利用量子振幅放大并利用信号冗余，该方法实现了高效信号处理并支持实际的经典输出。

ABSTRACT

Discrete Fourier transform (DFT) is the base of modern signal or information processing. 1-Dimensional fast Fourier transform (1D FFT) and 2D FFT have time complexity O(NlogN) and O(N^2logN) respectively. Quantum 1D and 2D DFT algorithms with classical output (1D QDFT and 2D QDFT) are presented in this paper. And quantum algorithm for convolution estimation is also presented in this paper. Compared with FFT, QDFT has two advantages at least. One of advantages is that 1D and 2D QDFT has time complexity O(sqrt(N)) and O(N) respectively. The other advantage is that QDFT can process very long signal sequence at a time. QDFT and quantum convolution demonstrate that quantum signal processing with classical output is possible.

研究动机与目标

• 设计用于一维和二维DFT的量子算法，输出经典结果，以支持实际信号处理。
• 克服标准QFT的局限性，后者输出的量子态不适用于经典信号应用。
• 利用信号冗余（即大多数DFT系数较小）的特性，通过选择性处理加速计算。
• 通过振幅放大与量子加载技术，证明基于经典输出的量子信号处理的可行性。
• 通过利用傅里叶域中的卷积定理，将该框架扩展至量子卷积估计。

提出的方法

• 使用改进的Grover算法（即振幅放大）来增强较大的DFT系数，从而实现对显著分量的高效提取。
• 采用一个量子加载酉操作 $U_L$，将经典信号数据编码为量子叠加态以供处理。
• 应用受控操作，计算傅里叶基向量与输入信号之间的内积 $\overrightarrow{W_i} \cdot \overrightarrow{x}$。
• 实施两步量子迭代：第一步识别显著的DFT系数，第二步通过振幅放大计算其数值。
• 对于二维QDFT，将一维方法扩展至矩阵运算，通过行与列的可分处理及受控纠缠实现。
• 使用阈值函数 $f'(i,j)$ 仅选择在指定能量范围 $[\alpha, \beta]$ 内的系数，从而降低计算负载。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在输出经典结果的前提下，实现比经典FFT更快的DFT计算？
• RQ2 如何将量子振幅放大适配于从量子叠加态中提取有意义的DFT系数？
• RQ3 在多大程度上可以利用信号冗余（如稀疏DFT系数）来减少量子计算时间？
• RQ4 是否可行通过量子DFT与卷积定理实现量子卷积估计？
• RQ5 与经典FFT相比，具有经典输出的量子DFT算法的时间复杂度如何？

主要发现

• 一维QDFT的时间复杂度为 $O(\sqrt{N})$，相比经典一维FFT的 $O(N\log N)$ 实现了指数级加速。
• 二维QDFT的时间复杂度为 $O(N)$，相比经典二维FFT的 $O(N^2\log N)$ 显著更快。
• 由于量子叠加，算法可在单次运行中处理极长的信号序列，实现大规模并行性。
• 通过仅关注大振幅DFT系数（利用信号冗余），算法在减少计算量的同时保持了高精度。
• 通过计算 $DFT(\vec{u})$、$DFT(\vec{v})$，在傅里叶域相乘，并应用逆DFT，利用卷积定理，实现了量子卷积估计。
• 该方法证明了在实际信号条件下，基于经典输出的量子信号处理是可行且高效的。