[论文解读] Quantum linear systems algorithm with exponentially improved dependence on precision

Andrew M. Childs, Robin Kothari+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 30

一句话总结

本文提出了一种用于求解线性系统的量子算法，通过用基于傅里叶/切比雪夫级数的算子实现替代量子相位估计算法，实现了精度依赖性的指数级改进。该算法在 log(1/ε) 的对数多项式时间内运行，与先前方法相比显著降低了 ε 的缩放依赖性，同时保持了与 N 和条件数相似的缩放关系。

ABSTRACT

Harrow, Hassidim, and Lloyd showed that for a suitably specified $N imes N$ matrix $A$ and $N$-dimensional vector $\vec{b}$, there is a quantum algorithm that outputs a quantum state proportional to the solution of the linear system of equations $A\vec{x}=\vec{b}$. If $A$ is sparse and well-conditioned, their algorithm runs in time $\mathrm{poly}(\log N, 1/\epsilon)$, where $\epsilon$ is the desired precision in the output state. We improve this to an algorithm whose running time is polynomial in $\log(1/\epsilon)$, exponentially improving the dependence on precision while keeping essentially the same dependence on other parameters. Our algorithm is based on a general technique for implementing any operator with a suitable Fourier or Chebyshev series representation. This allows us to bypass the quantum phase estimation algorithm, whose dependence on $\epsilon$ is prohibitive.

研究动机与目标

• 降低量子线性系统算法对逆精度 ε 的依赖性，此前由于量子相位估计导致其缩放性能较差。
• 开发一种方法，在保持对 log N 和 κ 的多项式缩放的同时，实现对精度的 poly(log(1/ε)) 依赖。
• 通过用基于级数的算子实现技术替代相位估计，实现更快的量子线性系统求解。

提出的方法

• 该算法使用傅里叶或切比雪夫级数表示来近似矩阵 A 的逆，从而实现 A⁻¹ 的高效量子模拟。
• 它构建一个量子线路，通过级数展开实现算子 A⁻¹，避免了对量子相位估计的需求。
• 该方法利用了具有平滑傅里叶或切比雪夫展开的函数可以用低深度量子线路实现的特性。
• 通过截断级数近似以达到所需的精度 ε，误差界由经典逼近理论推导得出。
• 该算法确保输出态与 A|x⟩ = |b⟩ 的解 |x⟩ 成比例，且保真度较高。
• 整体运行时间缩放为 poly(log N, κ, log(1/ε))，其中精度依赖性现实现指数级改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将量子线性系统算法的精度依赖性从 poly(1/ε) 降低至 poly(log(1/ε))？
• RQ2 是否可以使用一种基于级数的方法替代量子相位估计，同时保持低线路深度和高精度？
• RQ3 在实现 ε 缩放的指数级改进的同时，能否保持对 N 和条件数 κ 的相同依赖性？
• RQ4 在量子设置下，哪些类型的算子可以使用傅里叶或切比雪夫级数高效实现？
• RQ5 级数近似中的误差如何转化为解的最终态保真度？

主要发现

• 该算法的运行时间缩放为 poly(log N, κ, log(1/ε))，与先前方法相比在精度依赖性上实现了指数级改进。
• 对 ε 的依赖性从多项式降低为对数形式，具体从 poly(1/ε) 降低至 poly(log(1/ε))，这是重大的理论进展。
• 该方法绕过了量子相位估计，后者是精度缩放中的主要瓶颈。
• 使用傅里叶或切比雪夫级数能够实现对 A⁻¹ 在量子计算机上的精确且高效实现。
• 该算法保持了与原始 HHL 算法相同的对 N 和条件数 κ 的依赖性。
• 该方法具有通用性，适用于任何具有合适平滑级数表示的算子，其应用范围不仅限于线性系统。