[论文解读] Quantum mechanics with orthogonal polynomials

A. D. Alhaidari|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2017

Quantum chaos and dynamical systems被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新的量子力学形式化方法，通过在能量空间中使用正交多项式展开波函数，其中展开系数为能量的正交多项式。通过将物理系统的特性与这些多项式的代数与分析性质（特别是威尔逊-拉卡赫类）相联系，该方法显著扩展了传统方法之外的精确可解非相对论性量子系统的范围。

ABSTRACT

We present a formulation of quantum mechanics based on orthogonal polynomials. The wavefunction is expanded over a complete set of square integrable basis in configuration space where the expansion coefficients are orthogonal polynomials in the energy. Information about the corresponding physical systems (both structural and dynamical) are derived from the properties of these polynomials. We demonstrate that an advantage of this formulation is that the class of exactly solvable non-relativistic quantum mechanical problems becomes larger than in the conventional formulation (see, for example, Table 1 in the text).

研究动机与目标

• 开发一种新的量子力学形式化方法，通过在能量空间中使用正交多项式，推广传统方法。
• 阐明量子系统结构与动力学特性如何从正交多项式的代数与分析性质中涌现。
• 证明通过这种基于多项式的形式化方法，精确可解的非相对论性量子问题的范围得以扩大。
• 建立正交多项式族与量子系统中物理势能之间系统性的联系。

提出的方法

• 波函数在配置空间的完备平方可积基函数集中展开，展开系数表示为能量的正交多项式。
• 能量依赖的系数选自威尔逊-拉卡赫多项式类，该类提供了系统性的代数结构。
• 薛定谔方程被重铸为多项式系数的递推关系，从而实现精确可解性。
• 该方法利用威尔逊-拉卡赫多项式的三阶递推关系与正交性关系，推导出物理可观测量。
• 该形式化方法可直接从多项式性质推导出能级谱与波函数。
• 该方法通过将势能结构嵌入多项式参数中，推广了传统量子力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用能量空间中的正交多项式构造量子力学中的精确解？
• RQ2 量子系统的哪些物理特性编码在正交多项式的参数与结构之中？
• RQ3 与标准方法相比，该形式化方法在多大程度上扩展了精确可解量子力学问题的集合？
• RQ4 威尔逊-拉卡赫多项式的代数性质如何与量子势能的可解性相关联？
• RQ5 该框架能否系统性地从已知的正交多项式族生成新的可解势能？

主要发现

• 该形式化方法识别出威尔逊-拉卡赫多项式类是更广泛精确可解量子系统背后的关键代数结构。
• 该方法可对传统技术无法求解的量子势能实现精确解，从而扩展了已知可解问题的集合。
• 能级谱与波函数可直接从威尔逊-拉卡赫多项式的正交性与递推关系推导得出。
• 该形式化方法揭示了正交多项式代数结构与量子系统物理参数之间的深刻联系。
• 该方法提供了一个系统性框架，通过选择适当的多项式参数，可生成新的可解势能。
• 论文中的表1表明，与标准量子力学相比，该形式化方法下精确可解问题的范围更大。