[论文解读] Quantum-optical states in finite-dimensional Hilbert space. I. General formalism

Adam Miranowicz, W. Leoński+1 more|ArXiv.org|Aug 16, 2001

Quantum Mechanics and Applications被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在有限维（FD）希尔伯特空间中构造量子光学态的通用形式化方法，采用两种不同方法：广义相干态（GCS）与截断相干态（TCS）。该方法利用离散Wigner函数，并基于厄米多项式根提出一种新颖的解析方法，推导出FD相干态的精确系数，结果表明在无限维极限下，TCS比GCS更快收敛至传统的Glauber相干态。

ABSTRACT

The interest in quantum-optical states confined in finite-dimensional Hilbert spaces has recently been stimulated by the progress in quantum computing, quantum-optical state preparation, and measurement techniques, in particular, by the development of the discrete quantum-state tomography. In the first part of our review we present two essentially different approaches to define harmonic oscillator states in the finite-dimensional Hilbert spaces. One of them is related to the truncation scheme of Pegg, Phillips and Barnett [Phys. Rev. Lett. 81, 1604 (1998)] -- the so-called quantum scissors device. The second method corresponds to the truncation scheme of Leoński and Tanaś [Phys. Rev. A 49, R20 (1994)]. We propose some new definitions of the states related to these truncation schemes and find their explicit forms in the Fock representation. We discuss finite-dimensional generalizations of coherent states, phase coherent states, displaced number states, Schrödinger cats, and squeezed vacuum. We show some intriguing properties of the states with the help of the discrete Wigner function.

研究动机与目标

• 开发一种统一的形式化方法，用于在有限维希尔伯特空间中构造量子光学态。
• 阐明有限维系统中广义相干态（GCS）与截断相干态（TCS）之间的区别。
• 为有限维相干态的福克表示系数提供解析解，解决Bużek等人提出的问题。
• 通过在取无限维极限之前分析有限维状态，深化对Pegg-Barnett相位形式化的理解。
• 通过图形化展示离散数-相位Wigner函数，直观解释有限维量子态的性质。

提出的方法

• 基于Wootters构造方法，采用适用于奇数维系统的离散Wigner函数形式化，推广至有限维希尔伯特空间。
• 应用由Baker-Hausdorff公式导出的系数 $ d^{(s)}_{nk} $ 的递推关系，该关系已针对有限维系统中非c数对易子的特性进行调整。
• 利用厄米多项式 $ He_{s+1}(x) $ 的根，推导出福克表示系数 $ b^{(s)}_n $ 的解析解，表达式见式 (A.7)。
• 通过在有限维空间中使用位移算符，构造广义与截断相干态，采用推导出的系数公式。
• 采用参考文献[18]中的方法，将相干态表示为具有相位与振幅依赖性的福克基矢形式。
• 生成离散数-相位Wigner函数的图形表示，以可视化态的性质与行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限维希尔伯特空间中，广义相干态与截断相干态对位移参数的依赖性有何不同？
• RQ2 有限维相干态的福克表示系数的解析结构是什么？它们如何收敛至无限维极限？
• RQ3 在 $ s \to \infty $ 极限下，广义相干态与截断相干态相较于传统Glauber相干态的收敛速率如何比较？
• RQ4 离散Wigner函数在表征有限维量子光学态的相位与数性质方面起到什么作用？
• RQ5 如何通过在取无限维极限之前分析有限维态，更好地理解Pegg-Barnett相位形式化？

主要发现

• 对于所有有限 $ s $，截断相干态（TCS）均为非周期性的，而广义相干态（GCS）为周期性（当 $ s=1,2 $ 时）或准周期性（当 $ s $ 较高时）。
• 广义相干态与截断相干态在 $ s \to \infty $ 极限下均收敛至传统的Glauber相干态。
• 截断相干态比广义相干态更快收敛至传统的Glauber相干态。
• 通过 $ He_{s+1}(x) $ 的根，以闭式形式推导出系数 $ b^{(s)}_n $ 的解析解，解决了BuŻek等人提出的问题。
• 离散Wigner函数为有限维量子光学态的数-相位性质提供了直观的可视化，包括薛定谔猫态与压缩真空态。
• 该方法可显式构造多种有限维态，包括位移数态、相位相干态，以及偶/奇相干态，通过有限维位移与压缩算符实现。