[论文解读] Quantum Randomness and Nondeterminism

Emanuel Knill|ArXiv.org|Oct 9, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 53

一句话总结

本文研究了量子计算中的量子随机性与非确定性，表明标准的量子随机源并不能增强计算能力。然而，本文提出了整体量子非确定性——其中非确定性选择是量子态而非经典比特串——揭示了其复杂性结构比经典非确定性更丰富，对量子态复杂性和测量诱导非确定性的计算能力具有重要意义。

ABSTRACT

Does the notion of a quantum randomized or nondeterministic algorithm make sense, and if so, does quantum randomness or nondeterminism add power? Although reasonable quantum random sources do not add computational power, the discussion of quantum randomness naturally leads to several definitions of the complexity of quantum states. Unlike classical string complexity, both deterministic and nondeterministic quantum state complexities are interesting. A notion of \emph{total quantum nondeterminism} is introduced for decision problems. This notion may be a proper extension of classical nondeterminism.

研究动机与目标

• 检验量子随机性或非确定性是否在经典概率计算之外增强了计算能力。
• 定义并分析量子态复杂性，特别是从给定初始态制备和近似任意量子态的难度。
• 提出并评估整体量子非确定性的概念，其中非确定性输入为量子态而非经典比特串。
• 研究量子算法中由测量诱导的非确定性是否提供了超越经典非确定性的根本新计算资源。
• 在判定问题与量子算法的背景下，比较经典与量子非确定性的概念。

提出的方法

• 使用 QRAM（量子随机存取机）模型，形式化具有经典程序与量子态输入的量子计算。
• 通过希尔伯特球上的均匀分布分析量子随机性，表明其密度矩阵与 n 个经典硬币抛掷的统计效应不可区分。
• 考虑通过预言机重复访问同一随机量子态，导致具有分块对角密度矩阵的 k 重张量积结构。
• 将量子态复杂性定义为从给定初始态制备目标量子态所需的最小资源（程序长度、时间、操作）。
• 通过允许非确定性输入 y 为量子态而非经典比特串，提出整体量子非确定性。
• 评估模拟此类模型的计算成本，表明在态空间上进行穷举搜索需要指数时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 定义为对希尔伯特球上均匀随机态的访问，量子随机性是否在经典随机性之外提供了额外的计算能力？
• RQ2 制备任意量子态的难度能否形式化为量子态复杂性的概念，其与经典柯尔莫哥洛夫复杂性的差异是什么？
• RQ3 是否存在经典非确定性在量子计算中的有意义扩展，使得非确定性选择为量子态而非经典字符串？
• RQ4 能否通过程序中的经典选择来模拟量子算法中由测量诱导的非确定性，还是其代表了一种根本上新的资源？
• RQ5 实现整体量子非确定性的计算成本是多少，其在多项式时间复杂度类中是否可行？

主要发现

• 标准量子随机源（即希尔伯特球上均匀随机的量子态）并未增加计算能力，因为其统计效应与 n 个经典公平硬币抛掷不可区分。
• 均匀随机的 n qubit 量子态的密度矩阵与单位矩阵成正比，与 n 个经典公平硬币抛掷的结果一致。
• 由于希尔伯特空间的体积呈二重指数增长，大多数 n qubit 量子态需要指数多的局部酉操作才能近似。
• 整体量子非确定性——其中非确定性输入为量子态——通过在态空间上进行穷举搜索模拟时需要指数时间，因此主要与指数复杂度类相关。
• 整体量子非确定性的概念可能代表了一种真正新颖的非确定性来源，可能无法通过程序中经典选择的大幅资源开销来模拟。
• 测量诱导的非确定性可能无法通过程序中的经典非确定性来模拟，表明量子与经典选择在量子算法中具有根本不同的计算能力。