[论文解读] Quantum Schur Sampling is Classically Tractable

Vojtěch Havlíček, Sergii Strelchuk|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文表明，此前被认为表现出非经典行为的量子舒尔采样（Quantum Schur Sampling）电路类，可被经典计算机高效模拟。通过利用对称群的表示理论及计算不可约表示矩阵的高效算法，作者提出了一种经典算法，可在多项式有界误差内近似输出分布，从而挑战了该模型中量子优势的先前猜想。

ABSTRACT

Permutational Quantum Computing (Jordan, 2009) is a natural quantum computational model that was conjectured to capture non-classical aspects of quantum computation. Contrary to the previous conjecture, we find a classical algorithm that efficiently approximates output distributions of the model up to polynomially small additive precision. We extend this algorithm to show that a large class of important quantum circuits - the Quantum Schur Sampling circuits - can be also efficiently simulated classically. The algorithm can be used to efficiently estimate non-trivial elements of irreducible representation matrices of the symmetric group on $n$ elements and might be also used to approximate transition amplitudes of the Ponzano-Regge model.

研究动机与目标

• 研究此前被认为表现出非经典量子行为的量子舒尔采样电路，是否可被经典计算机高效模拟。
• 开发一种经典算法，以多项式加法误差近似置换量子计算及相关电路的输出分布。
• 实现对对称群在 n 个元素上的不可约表示的非平凡矩阵元的高效计算。
• 探索经典方法在拓扑量子场论（如庞扎诺-雷吉模型）中模拟量子振幅的潜力。

提出的方法

• 该算法利用对称群的表示理论，高效计算不可约表示的矩阵元。
• 通过利用盖尔范德-采特林基及其相关分支规则，递归地分解表示并计算矩阵条目。
• 通过将表示矩阵的内积表达为量子舒尔采样电路的跃迁振幅，实现对这些振幅的计算。
• 通过将这些矩阵元近似到多项式小的加法误差，实现多项式时间的经典采样。
• 该方法通过舒尔态与自旋网络之间的对应关系，可扩展至估计庞扎诺-雷吉模型中的振幅。

实验结果

研究问题

• RQ1 此前被认为能捕捉非经典量子行为的量子舒尔采样电路，是否可被经典计算机高效模拟？
• RQ2 以多项式加法精度近似置换量子计算电路的输出分布，其计算复杂度如何？
• RQ3 经典算法能否高效计算对称群在 n 个元素上的不可约表示的非平凡矩阵元？
• RQ4 经典方法在多大程度上可近似庞扎诺-雷吉拓扑量子场论中的跃迁振幅？

主要发现

• 开发出一种经典算法，可高效地在多项式加法误差范围内近似量子舒尔采样电路的输出分布。
• 该算法实现了对对称群在 n 个元素上的不可约表示的非平凡矩阵元的高效计算。
• 证明了置换量子计算电路的模拟在经典计算上是可行的，与此前关于其量子优势的猜想相矛盾。
• 该方法通过表示理论技术，为庞扎诺-雷吉模型中的跃迁振幅提供了经典近似方案。