[论文解读] Quantum search for multiple items using parallel queries

Lov K. Grover, Jaikumar Radhakrishnan|ArXiv.org|Jul 27, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文提出了一种使用 d 个并行副本的量子算法，用于在数据库中搜索多个项目，实现了接近最优的查询复杂度。它建立了 Ω(√(Nk/(d·min{d,k}))) 的下界，并设计了一种算法，其查询复杂度与该下界仅相差一个对数因子，将 Grover 的单项目搜索和 Heiligman 的多项目搜索推广到了并行查询模型。

ABSTRACT

In the quantum database search problem we are required to search for an item in a database. In this paper, we consider a generalization of this problem, where we are provided d identical copes of a database each with N items which we can query in parallel. Then, given k items, we are required to determine the locations where these items are stored. We show that any quantum algorithm for this task must perform Omega(sqrt{Nk/d min{d,k}}) parallel queries. We also design an algorithm whose performance comes within a factor O(log d) of this lower bound.

研究动机与目标

• 解决在可并行查询多个数据库副本时，现有量子搜索算法在查找多个项目方面的空白。
• 将 Grover 的单项目搜索和 Heiligman 的多项目搜索推广到对 d 个相同数据库并行访问的情形。
• 建立在 d 个大小为 N 的并行数据库中定位 k 个不同项目所需并行查询次数的紧致下界与上界。
• 设计一种实用的量子算法，使其查询复杂度在对数因子范围内接近已证明的下界。

提出的方法

• 将问题重新表述为在单个更大的数据库 F = f^⊗d 中搜索 k 个项目，其中 f 是原始数据库函数。
• 使用量子对抗法，通过分析搜索问题对数据库变化的敏感性，推导出并行查询次数的下界。
• 设计一种随机负载均衡策略，将 N 个地址划分为 d 个互不相交的大小为 N/d 的集合，分别分配给每个数据库副本。
• 对每个数据库副本应用改进版的 Boyer-Brassard-Høyer-Tapp 量子搜索算法，假设每个副本最多包含 t 个项目，其中 t 的选择以最小化期望查询成本。
• 使用集中化界限确保以高概率，任一数据库副本中的项目数不超过 t，从而使算法以常数概率成功。
• 多次重复该算法以提高成功概率，最终使整体查询复杂度接近理论下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 d 个相同 N 项数据库的副本中查找 k 个不同项目，所需的最少并行查询次数是多少？
• RQ2 在并行量子搜索模型中，最优查询复杂度如何随 N、k 和 d 变化？
• RQ3 是否存在一种量子算法，其查询复杂度在理论下界的一个常数因子范围内？
• RQ4 当 k ≤ √d、√d < k ≤ d lg d 或 k > d lg d 时，算法性能如何依赖于 k 和 d 的相对大小？
• RQ5 现有量子搜索算法（如 Grover、Boyer-Brassard-Høyer-Tapp）在多大程度上可被适配到并行数据库设置中？

主要发现

• 本文建立了在 d 个 N 项数据库副本中查找 k 个项目所需并行查询次数的下界为 Ω(√(Nk/(d·min{d,k})))。
• 设计了一种算法，其并行查询复杂度为 O(√(Nk lg d / (d·min{d,k})))，与下界仅相差一个对数因子。
• 当 k ≤ √d 时，该算法实现 O(√(N/d)) 次查询，其复杂度在常数因子范围内最优。
• 当 k > d lg d 时，该算法实现 O(√(Nk)/d) 次查询，表明并行访问可显著提升搜索速度，优于串行搜索。
• 分析表明，所有参数范围内上界与下界之间的差异至多为对数因子，表明所提算法具有近乎最优性。
• 结果将 Grover 的单项目搜索和 Heiligman 的多项目搜索推广到了并行查询模型，统一了量子搜索领域中的关键成果。