[论文解读] Quasi-plurisubharmonic envelopes 1: Uniform estimates on Kähler manifolds

Vincent Guedj, Chinh H. Lu|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2021

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过拟 plurisubharmonic 函数的上包络和紧致性，对凯勒流形上的退化复 Monge-Ampère 方程建立统一的 $L^∞$ 先验估计，避免了传统的分部积分方法。该方法给出了科洛杰伊统一估计的新证明，并将其推广至大上同调类和退化族，得到了解的精确稳定性与有界性结果。

ABSTRACT

We develop a new approach to $L^{\infty}$-a priori estimates for degenerate complex Monge-Ampère equations on complex manifolds. It only relies on compactness and envelopes properties of quasi-plurisubharmonic functions. Our method allows one to obtain new and efficient proofs of several fundamental results in Kähler geometry as we explain in this article. In a sequel we shall explain how this approach also applies to the hermitian setting producing new relative a priori bounds, as well as existence results.

研究动机与目标

• 为紧致凯勒流形上退化复 Monge-Ampère 方程的统一 $L^∞$ 先验估计开发一种新方法。
• 用基于包络的方法替代传统的分部积分技术，依赖于紧致性和拟 plurisubharmonic 函数的性质。
• 统一并推广 Kähler 几何中关于统一有界性和稳定性的现有结果，包括对大上同调类和坍缩族的结果。
• 为后续论文中将这些估计推广至 Hermitian（非凯勒）情形奠定基础。

提出的方法

• 利用拟 plurisubharmonic 函数的包络构造，控制 Monge-Ampère 测度的正性。
• 应用次调和函数的控制原理和比较原理，推导解的全局有界性。
• 使用加权凹函数 $\chi$ 控制解 $\varphi$ 的增长，其中 $\chi$ 通过 Lebesgue 公式选取，以确保可积性。
• 使用切比雪夫型不等式，以包络的 $L^m(\mu)$-范数表示子水平集 $\{\varphi < -t\}$ 的测度。
• 构造一列逼近解 $\varphi_j$，其 $L^\infty$-范数一致有界，然后在有限能量类中取极限。
• 依赖 Cegrell 的分解定理，将非极值测度表示为光滑测度的极限，从而支持逼近论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用分部积分的情况下，为退化 Monge-Ampère 方程解的统一 $L^\infty$ 估计建立先验界？
• RQ2 包络方法在何种程度上可用于恢复并推广科洛杰伊在 $L^p$-密度假设下的 $L^\infty$ 估计？
• RQ3 该方法在多大程度上可推广至大上同调类和度量退化族？
• RQ4 该方法能否在测度扰动下产生精确的稳定性估计？
• RQ5 在控制解的振幅方面，$A_m(\mu)$-泛函起什么作用？

主要发现

• 本文建立了有界解 $V^{-1}(\omega + dd^c\varphi)^n = \mu$ 的统一先验界 $\mathrm{Osc}_X(\varphi) \leq T_\mu$，其中 $T_\mu = T(A_m(\mu))$ 依赖于 $\mathrm{PSH}(X,\omega)$ 中满足 $\sup \psi = 0$ 的函数 $\psi$ 的 $L^m$-范数。
• 该方法恢复了科洛杰伊对 $\mu = f dV_X$ 且 $f \in L^p$，$p > 1$ 的 $L^\infty$ 估计，并将其推广至 Orlicz 类和非绝对连续测度。
• 证明了稳定性估计，表明测度 $\mu$ 的微小变化仅引起解 $\varphi$ 的受控变化，其界依赖于 $A_m(\mu)$。
• 该方法适用于大上同调类，恢复了 [BEGZ10] 的结果；也适用于退化族，恢复了 [DnGG20] 的界。
• 对于非极值测度 $\mu = f dV_X$ 且 $f \in L^1$ 的情形，该方法通过逼近和包络技术证明了存在一个有限能量解 $\varphi$，且其全局有界。
• 权重 $\chi$ 的构造确保 $\int_\Omega (\chi' \circ \varphi)^n d\mu \leq 2$，从而控制包络的 Monge-Ampère 质量，并实现统一的 $L^m(\mu)$ 有界性。