[论文解读] Quasi-Polynomial Time Approximation Schemes for Packing and Covering Problems in Planar Graphs

Michał Pilipczuk, Erik Jan van Leeuwen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 1

一句话总结

本文首次为两类基础优化问题——最大权对象独立集（MWISO）与最小权距离集合覆盖（MWDSC）——在平面图中提出了准多项式时间近似方案（QPTAS）。通过将基于稀疏分隔符的递归分解几何近似技术适配到图结构中，作者在时间 2^{poly(1/ϵ, log N)} · n^{O(1)} 内实现了 (1+ϵ)-近似，其中 N 为对象/顶点数量，n 为图的规模。

ABSTRACT

We consider two optimization problems in planar graphs. In {Maximum Weight Independent Set of Objects} we are given a graph G and a family D of {objects}, each being a connected subgraph of G with a prescribed weight, and the task is to find a maximum-weight subfamily of D consisting of pairwise disjoint objects. In {Minimum Weight Distance Set Cover} we are given an edge-weighted graph G, two sets D,C of vertices of G, where vertices of D have prescribed weights, and a nonnegative radius r. The task is to find a minimum-weight subset of D such that every vertex of C is at distance at most r from some selected vertex. Via simple reductions, these two problems generalize a number of geometric optimization tasks, notably {Maximum Weight Independent Set} for polygons in the plane and {Weighted Geometric Set Cover} for unit disks and unit squares. We present {quasi-polynomial time approximation schemes} (QPTASs) for both of the above problems in planar graphs: given an accuracy parameter epsilon>0 we can compute a solution whose weight is within multiplicative factor of (1+epsilon) from the optimum in time 2^{poly(1/epsilon,log |D|)}* n^{O(1)}, where n is the number of vertices of the input graph. Our main technical contribution is to transfer the techniques used for recursive approximation schemes for geometric problems due to Adamaszek, Har-Peled, and Wiese [Adamaszek and Wiese, 2013; Adamaszek and Wiese, 2014; Sariel Har-Peled, 2014] to the setting of planar graphs. In particular, this yields a purely combinatorial viewpoint on these methods.

研究动机与目标

• 为平面图中的打包与覆盖问题设计高效的近似算法，使解的质量在最优解的 (1+ϵ) 范围内。
• 将几何优化问题（如多边形独立集与单位圆盘集合覆盖）推广至平面图设置。
• 将原本专为欧几里得空间设计的递归几何近似技术，迁移至平面图的组合设置中。
• 为平面图中的 QPTAS 建立纯粹的组合框架，避免依赖几何嵌入。

提出的方法

• 将几何设置中已有的递归近似框架（Adamaszek, Har-Peled, Wiese）适配至平面图，利用图分隔符实现。
• 采用递归分解策略，通过与最优解交集最少的稀疏分隔符对图进行划分。
• 猜测一个较小的高权重要顶点（高权顶点）集合，这些顶点可能属于最优解，然后将剩余图划分为两个子问题。
• 在递归子问题的层次结构上应用动态规划，通过依赖深度的近似因子控制解的权重界限。
• 采用深度受限的递归，以当前子问题中最优解的权重作为停止条件。
• 利用一个关键引理（引理 24）确保递归子问题保持权重分布的平衡，并支持 (1+ϵ)-近似解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当半径 r 作为输入而非常数时，是否可以为平面图中的打包与覆盖问题设计准多项式时间近似方案？
• RQ2 能否将几何优化中基于递归分隔符的近似技术适配至平面图的组合设置中？
• RQ3 是否可能在时间复杂度 2^{poly(1/ϵ, log N)} · n^{O(1)} 内，为平面图中的 MWISO 和 MWDSC 实现 (1+ϵ)-近似？
• RQ4 如何利用平面图的结构特性，设计既高效又精确的近似算法？
• RQ5 能否将 Voronoi 图与递归分解的几何直觉，在平面图中以纯粹组合的方式形式化？

主要发现

• 本文提出了一个针对平面图中最大权对象独立集（MWISO）的 QPTAS，时间复杂度为 2^{poly(1/ϵ, log N)} · n^{O(1)}。
• 同样为平面图中的最小权距离集合覆盖（MWDSC）设计了 QPTAS，具有相同的渐近时间复杂度。
• 通过使用稀疏分隔符递归分解图，并对子问题中最优解的权重进行有界，实现了 (1+ϵ) 的近似因子。
• 算法采用依赖深度的近似因子，随递归层级累积为 (1 + 2d′ϵ)，从而保证整体 (1+ϵ) 近似。
• 该方法依赖于对少量高权顶点（高权顶点）的猜测，并通过划分图使每个子问题中的剩余解权重保持有界。
• 通过在递归深度上进行归纳，证明了算法的正确性，表明返回解的权重至多为最优权重的 (1+ϵ) 倍。