[论文解读] Quasi-regular sequences and optimal schedules for security games

David Kempe, Leonard J. Schulman+1 more|CaltechAUTHORS (California Institute of Technology)|Nov 22, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用 9

一句话总结

本文引入了K-准正则序列——具体为2-准正则序列和随机化2-准正则序列——作为连续时间安全博弈中防御者调度的最优策略。通过利用黄金分割率的性质与遍历理论，作者证明了此类序列即使在目标价值不等且防御者切换耗时单位时间的情况下，也能确保攻击者的期望收益最小化，从而解决了安全博弈中长期存在的调度难题。

ABSTRACT

We study security games in which a defender commits to a mixed strategy for protecting a finite set of targets of different values. An attacker, knowing the defender's strategy, chooses which target to attack and for how long. If the attacker spends time $t$ at a target $i$ of value $α_i$, and if he leaves before the defender visits the target, his utility is $t \cdot α_i $; if the defender visits before he leaves, his utility is 0. The defender's goal is to minimize the attacker's utility. The defender's strategy consists of a schedule for visiting the targets; it takes her unit time to switch between targets. Such games are a simplified model of a number of real-world scenarios such as protecting computer networks from intruders, crops from thieves, etc. We show that optimal defender play for this continuous time security games reduces to the solution of a combinatorial question regarding the existence of infinite sequences over a finite alphabet, with the following properties for each symbol $i$: (1) $i$ constitutes a prescribed fraction $p_i$ of the sequence. (2) The occurrences of $i$ are spread apart close to evenly, in that the ratio of the longest to shortest interval between consecutive occurrences is bounded by a parameter $K$. We call such sequences $K$-quasi-regular. We show that, surprisingly, $2$-quasi-regular sequences suffice for optimal defender play. What is more, even randomized $2$-quasi-regular sequences suffice for optimality. We show that such sequences always exist, and can be calculated efficiently. The question of the least $K$ for which deterministic $K$-quasi-regular sequences exist is fascinating. Using an ergodic theoretical approach, we show that deterministic $3$-quasi-regular sequences always exist. For $2 \leq K < 3$ we do not know whether deterministic $K$-quasi-regular sequences always exist.

研究动机与目标

• 解决在切换时间单位的连续时间安全博弈中寻找最优防御者调度策略的挑战。
• 将防御者策略建模为有限字母表上的无限序列，其中每个符号i的出现具有预设的极限频率，并且相邻出现之间的间隔比值有界。
• 证明2-准正则序列——即任意符号相邻出现之间最长与最短间隔之比不超过2——即使在一般频率分布下1-准正则序列不存在的情况下，仍能提供最优防御者策略。
• 证明确定性与随机化2-准正则序列均存在且可高效计算，从而确保对最佳响应攻击者的最优防御。
• 探索此类序列的理论极限，表明确定性3-准正则序列始终存在，并可实现约1.006-近似最优策略。

提出的方法

• 将防御者的策略建模为在有限目标集合上的无限序列，其中每个目标i以预设的极限频率pi出现。
• 将K-准正则序列定义为：任意符号i的相邻出现之间，最长间隔与最短间隔之比不超过K。
• 利用黄金分割率ϕ，通过(λ + t/ϕ) mod 1的分数部分构造调度方案，确保目标访问的均匀分布。
• 证明2-准正则序列——包括确定性与随机化形式——通过最小化攻击者的期望收益，可实现最优防御者效用。
• 应用遍历理论与ϕ的连分数逼近性质，证明3-准正则序列的存在性及其高效可计算性。
• 使用ϕ的有理逼近与随机偏移λ实现算法，通过控制数字精度的误差界，确保高概率正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将连续时间安全博弈中防御者的最优策略简化为具有有界目标访问间隔比的组合序列？
• RQ2 对于一般的目标价值分布，1-准正则序列（等差数列）是否始终存在？若否，是否存在其他序列仍能实现最优策略？
• RQ3 即使1-准正则序列不存在，是否仍能通过2-准正则序列实现最优防御者效用？
• RQ4 随机化2-准正则序列是否也能确保最优性？若可，能否高效计算？
• RQ5 是否存在最小的K值，使得确定性K-准正则序列始终存在？其提供何种近似保证？

主要发现

• 2-准正则序列——即任意目标相邻访问之间最长与最短间隔之比不超过2——可确保安全博弈中防御者的最优效用。
• 随机化2-准正则序列同样实现最优性，提供鲁棒性与实际可行性。
• 尽管在一般pi分布下1-准正则序列不存在，2-准正则序列始终存在且可高效计算。
• 确定性3-准正则序列始终存在，并可实现约1.006-近似最优防御者策略。
• 对于足够小的pi，对任意ε>0，存在(1+ε)-准正则的确定性序列，从而可实现任意接近最优的策略。
• 用于计算调度的算法运行时间为多项式时间，使用ϕ的有理逼近与O(log n + log t)位随机数，确保高概率正确性。