[论文解读] Quasi-shuffle products

Michael E. Hoffman|ArXiv.org|Jul 27, 1999

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 73

一句话总结

本文引入了非交换多项式代数上的拟shuffle乘积，通过引入一个交换、结合、保持次数的括号运算 [a,b] 来推广shuffle乘积。证明了所得代数是一个交换、结合、分次的 k-代数，并构建了霍普夫代数结构。其主要贡献是显式构造了一个从shuffle代数到拟shuffle代数的同构 exp，表明后者是Lyndon词上的自由多项式代数。

ABSTRACT

Given a locally finite graded set A and a commutative, associative operation on A that adds degrees, we construct a commutative multiplication * on the set of noncommutative polynomials in A which we call a quasi-shuffle product; it can be viewed as a generalization of the shuffle product. The resulting commutative algebra can be given the structure of a Hopf algebra (_A_,*,Delta). In the case where A is the set of positive integers and the operation on A is addition, (_A_,*,Delta) is the Hopf algebra of quasi-symmetric functions. If rational coefficients are allowed, there is a Hopf algebra isomorphism exp from the shuffle Hopf algebra on A onto (_A_,*,Delta). We discuss the dual of (_A_,*,Delta), and define a deformation *_q of * that coincides with * when q = 1 and is isomorphic to the concatenation product when q is not a root of unity. Finally, we discuss various examples of this construction.

研究动机与目标

• 通过引入一个满足交换、结合且保持次数的括号运算 [·,·] 的新乘法 *，推广shuffle乘积。
• 证明所得代数 (A, *) 是一个交换、结合、分次的 k-代数，并在标准coproduct Δ 下形成霍普夫代数。
• 通过生成函数方法显式构造从shuffle代数 (A, sh) 到拟shuffle代数 (A, *) 的代数同构 exp，证明 (A, *) 是Lyndon词上的自由多项式代数。
• 研究拟shuffle霍普夫代数的分次对偶，并建立其与连接霍普夫代数的同构关系 exp*。
• 引入拟shuffle乘积的 q-变形 *q，并证明当 q 不是单位根时，其同构于连接代数。

提出的方法

• 通过递归定义拟shuffle乘积 *：对字母 a,b 和字 w₁,w₂，有 aw₁ * bw₂ = a(w₁ * bw₂) + b(aw₁ * w₂) + [a,b](w₁ * w₂)。
• 利用括号运算 [·,·] 的公理 (S1)–(S3) 和归纳法，证明 * 是交换、结合且保持次数的。
• 通过标准coproduct Δ(w) = ∑_{uv=w} u⊗v，为 (A, *, Δ) 赋予霍普夫代数结构。
• 通过生成函数方法构造同构 exp: (A, sh) → (A, *)，将字映射为其 *-积。
• 利用Varchenko定理证明当 q 不是单位根时，q-变形乘积 *q 同构于连接代数。
• 定义同态 φₙ: ℰᵣ → ℂ[t₁,…,tₙ]，将单项式映射为单位根的幂级数，并用此证明极限映射 φ: ℰᵣ → ℙ 的单射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，括号运算 [·,·] 使得拟shuffle乘积 * 是交换且结合的？
• RQ2 拟shuffle代数 (A, *) 是否同构于shuffle代数 (A, sh)，如果是，能否显式构造该同构？
• RQ3 拟shuffle霍普夫代数 (A, *, Δ) 的分次对偶是否同构于连接霍普夫代数？
• RQ4 拟shuffle乘积的 q-变形 *q 与连接代数有何关系，何时二者同构？
• RQ5 拟对称函数能否通过同态嵌入形式幂级数环中，且该嵌入是否为单射？

主要发现

• 拟shuffle乘积 * 是非交换多项式代数 k⟨A⟩ 上的交换、结合、保持次数的乘法。
• 代数 (A, *) 通过显式同构 exp 同构于shuffle代数 (A, sh)，该同构将shuffle积映射为拟shuffle积。
• 拟shuffle代数 (A, *, Δ) 是一个霍普夫代数，其分次对偶通过 exp* 同构于连接霍普夫代数。
• 当 q 不是单位根时，q-变形乘积 *q 同构于连接代数，该结论由Varchenko定理得出。
• 欧拉代数 ℰᵣ 通过同态 φₙ 单射嵌入到多项式环的逆极限 ℂ[t₁,…,tₙ] 中，极限映射 φ: ℰᵣ → ℙ 是单射的。
• 同态 φₙ 保持分次，并满足 φₙ(zₚ,ⱼw) = ∑_{m>1} ω^{im} tₘᵖ φₘ₋₁(w)，其中 ω = e^{2πi/r}。