[论文解读] Quasianalytic polynomially bounded operators

László Kérchy|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 22被引用 7

一句话总结

该论文将拟解析收缩算子——这是不变子空间与超不变子空间问题的核心——的理论扩展至更广义的多项式有界算子类。通过在该设定下引入酉渐近行为与$H^\infty$-函数演算，作者证明了拟解析性（即剩余集$\omega(T)$与拟解析谱集$\pi(T)$重合）蕴含超不变子空间性质，并证明当谱集匹配时，拟解析性在限制与正交直和下保持不变。

ABSTRACT

Quasianalytic contractions form the crucial class in the quest for proper invariant and hyperinvariant subspaces for asymptotically non-vanishing Hilbert space contractions. The property of quasianalycity relies on the concepts of unitary asymptote and $H^ı$-functional calculus. These objects can be naturally defined in the setting of polynomially bounded operators too, which makes possible to extend the study of quasianalycity from contractions to this larger class. Carrying out this program we pose also several interesting questions.

研究动机与目标

• 将拟解析收缩算子理论——这是超不变子空间问题的关键——从收缩算子扩展至更广义的多项式有界算子类。
• 在多项式有界算子的语境下定义酉渐近行为与$H^\infty$-函数演算。
• 建立拟解析性蕴含非平凡超不变子空间存在的条件。
• 研究拟解析性在限制、正交直和及拟相似等操作下的保持性。
• 提出关于存在移位型不变子空间及$\omega(T) = \mathbb{T}$或$\pi(T) = \mathbb{T}$时非收缩模型的开放问题。

提出的方法

• 使用范畴论框架为多项式有界算子引入酉渐近行为，推广收缩算子的情形。
• 利用Banach极限证明在幂有界情形下酉渐近行为的存在性。
• 应用Mlak的Lebesgue型分解理论，将多项式有界算子表示为绝对连续部分与奇异部分的直和。
• 通过局部剩余集$\omega(T,x)$与非单调序列定义剩余集$\omega(T)$与拟解析谱集$\pi(T)$。
• 为绝对连续多项式有界算子建立$H^\infty$-函数演算，证明其存在当且仅当算子为绝对连续。
• 应用交织关系与交换子映射分析限制与直和下的相似性与谱不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多项式有界算子$T$为拟解析的，即满足$\omega(T) = \pi(T)$？
• RQ2 多项式有界算子的拟解析性是否蕴含非平凡超不变子空间的存在？
• RQ3 拟解析性在正交直和与不变子空间限制下如何保持？
• RQ4 每个满足$\omega(T) = \mathbb{T}$或$\pi(T) = \mathbb{T}$的多项式有界算子是否可分解为与收缩算子相似的部分？
• RQ5 是否存在非收缩的、绝对连续的多项式有界算子，满足$\omega(T) = \mathbb{T}$？

主要发现

• 多项式有界算子$T$为拟解析当且仅当$\omega(T) = \pi(T)$，其中$\omega(T)$为剩余集，$\pi(T)$为拟解析谱集。
• 若$T$为拟解析且绝对连续，则$T$属于$C_{10}$类，即$\mathcal{H}_0(T) = \{0\}$且$\mathcal{H}_0(T^*) = \mathcal{H}$。
• 可通过$H^\infty$中的非单调序列刻画拟解析谱集$\pi(T)$，推广经典拟解析条件。
• 拟解析性在非零不变子空间限制下保持不变：若$T$为拟解析且$\mathcal{M} \in \text{Lat}\,T$，则$T|\mathcal{M}$亦为拟解析，且满足$\pi(T|\mathcal{M}) = \pi(T)$。
• 对于正交直和$T = T_1 \oplus T_2$，$T$为拟解析当且仅当$T_1$与$T_2$均为拟解析且$\pi(T_1) = \pi(T_2)$。
• 每个奇异多项式有界算子均与其实酉渐近行为相似，且绝对连续性在拟相似下保持不变。