[论文解读] Quasicoherent sheaves on complex noncommutative two-tori

Alexander Polishchuk|ArXiv.org|Jun 28, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文将复非交换二维环面上的拟相干层定义为全纯向量丛类中的 ind-对象，并建立了此类层的导出范畴与相应椭圆曲线上拟相干层的导出范畴之间的等价性。此外，还证明了零秩挠层模掉后的商范畴与一个半遗传代数上的有限表示模范畴等价，其投射对象由其取值于实数的秩唯一分类。

ABSTRACT

We introduce the notion of a quasicoherent sheaf on a complex noncommutative two-torus $T$ as an ind-object in the category of holomorphic vector bundles on $T$. Extending the results of math.QA/0211262 and math.QA/0308136 we prove that the derived category of quasicoherent sheaves on $T$ is equivalent to the derived category of usual quasicoherent sheaves on the corresponding elliptic curve. We define the rank of a quasicoherent sheaf that can take arbitrary nonnegative real values. We study the category $\Qcoh(η_T)$ obtained by taking the quotient of the category of quasicoherent sheaves by the subcategory of objects of rank zero (called torsion sheaves). We show that projective objects of finite rank in $\Qcoh(η_T)$ are classified up to an isomorphism by their rank. We also prove that the subcategory of objects of finite rank in $\Qcoh(η_T)$ is equivalent to the category of finitely presented modules over a semihereditary algebra.

研究动机与目标

• 将复非交换二维环面上的拟相干层定义并研究为全纯向量丛类中的 ind-对象。
• 建立非交换环面上拟相干层的导出范畴与相应椭圆曲线上通常拟相干层的导出范畴之间的导出等价性。
• 在取值于非负实数的拟相干层上定义一个秩函数，并将其扩展为导出不变量。
• 分析通过模去零秩挠层得到的商范畴 Qcoh(η_T)，并对其有限秩投射对象进行分类。
• 证明 Qcoh(η_T) 中有限秩对象的全子范畴与某个半遗传代数上的有限表示模范畴等价。

提出的方法

• 将复非交换二维环面 T 上的拟相干层定义为 T 上全纯向量丛类中的 ind-对象。
• 将范畴 Qcoh(T) 实现为配备有复结构导出 δ_τ 提升的全纯模的全子范畴。
• 证明 D^b(Qcoh(T)) 与 D^b(Qcoh(E)) 对于椭圆曲线 E = C/(Z + Zτ) 等价，从而推广了关于向量丛的先前结果。
• 引入一个取值于 R≥0 ∪ {+∞} 的拟相干层秩函数，该函数扩展了全纯向量丛的实数值秩。
• 将零秩层定义为挠层，并构造商范畴 Qcoh(η_T) = Qcoh(T)/Tors。
• 通过使用函子 X ↦ Hom(P, X)（其中 P 是有限秩的拟向量丛），构造 Qcoh^f(η_T) 与 R_P = End_{Qcoh(η_T)}(P) 上有限表示模范畴之间的等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于向量丛类中不存在相干挠层，如何在复非交换二维环面上有意义地定义拟相干层？
• RQ2 非交换二维环面上拟相干层的导出范畴结构是怎样的？它与相应椭圆曲线上拟相干层的导出范畴有何关系？
• RQ3 能否将非交换环面上全纯向量丛的秩扩展为范畴上定义良好且加性的秩函数？
• RQ4 通过模去零秩挠层得到的商范畴 Qcoh(η_T) 的结构如何？其投射对象如何分类？
• RQ5 η_T 上有限秩拟相干层的范畴是否与某个半遗传环上的有限表示模范畴等价？

主要发现

• 复非交换二维环面 T 上拟相干层的导出范畴与相应椭圆曲线上拟相干层的导出范畴等价。
• T 上拟相干层的秩扩展为取值于 R≥0 ∪ {+∞} 的加性函数，推广了全纯向量丛的实数值秩。
• 零秩挠层存在且构成非平凡的 Serre 子范畴；商范畴 Qcoh(η_T) 类似于交换几何中在一般点上的层范畴。
• Qcoh(η_T) 中有限秩投射对象由其取值于实数的秩唯一分类，该秩可为任意非负实数。
• Qcoh^f(η_T) 中有限秩对象的全子范畴与任意有限秩拟向量丛 P 对应的半遗传代数 R_P 上的有限表示模范畴等价。
• Qcoh^f(η_T) 中每个对象的投射维数 ≤1，且每个有限生成的 R_P-模都可表示为某个 X ∈ Qcoh^f(η_T) 的 Hom(P, X)。