[论文解读] Quasiconformal maps on model Filiform groups

Xiangdong Xie|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文完全分类了配备Carnot度量的高阶实与复模型Filiform群上的拟共形映射，表明它们全都是左平移、加权同构以及特定利普希茨控制变形的有限复合。关键结果是，在复情形下，拟共形映射表现出极强的刚性——在复共轭意义下，它们是全纯的，且必须是具有多项式逆的多项式映射。

ABSTRACT

We describe all quasiconformal maps on the higher (real and complex) model Filiform groups equipped with the Carnot metric, including non-smooth ones. These maps have very special forms. In particular, they are all biLipschitz and preserve multiple foliations. The results in this paper have implications to the large scale geometry of nilpotent Lie groups and negatively curved solvable Lie groups.

研究动机与目标

• 对配备Carnot度量的高阶实与复模型Filiform群上的所有拟共形映射进行分类。
• 理解在非刚性Carnot群上拟共形映射的几何与分析刚性。
• 确定这些群上的拟共形映射是否光滑，或是否可能存在非光滑情形，以及其可能的形式。
• 探讨这些结果对幂零与可解李群的大尺度几何的影响。
• 在不假设光滑性或正则性的前提下，对拟共形映射进行完全表征。

提出的方法

• 利用模型Filiform群 $F_K^n$（$K = \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）的群结构及其左不变的Carnot度量。
• 通过利普希茨函数 $h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 的迭代积分定义映射 $F_h$，在更高层生成形变。
• 应用潘苏关于幂零群上拟共形映射几乎处处可微性的理论。
• 利用商群结构（例如 $F_{\mathbb{C}}^n / H_3 \cong H_{\mathbb{C}}^1$）将问题约化为低维情形。
• 利用拟对称性与拟共形性，证明在商群上诱导的映射是拟对称的，使用泰森引理。
• 证明在基层上诱导的映射必须是复仿射的，从而得出在复情形下，所有此类映射都是左平移与加权同构的复合。

实验结果

研究问题

• RQ1 配备Carnot度量的高阶实模型Filiform群上，拟共形映射的完整结构是什么？
• RQ2 在缺乏光滑性假设的情况下，拟共形映射在复模型Filiform群上如何表现？
• RQ3 拟共形映射在非刚性Carnot群上的刚性在多大程度上由群的代数与度量结构决定？
• RQ4 这些群上是否存在非光滑的拟共形映射，若存在，其形式如何？
• RQ5 在配备Carnot度量的幂零李群背景下，拟共形映射与双利普希茨映射之间存在何种关系？

主要发现

• 对于所有 $n \geq 3$，$F_{\mathbb{R}}^n$ 上的所有拟共形映射都是左平移、加权同构以及由利普希茨函数 $h$ 诱导的映射 $F_h$ 的有限复合。
• 在复情形下，对于所有 $n \geq 3$，$F_{\mathbb{C}}^n$ 上的所有拟共形映射都是左平移与加权同构的有限复合，至多相差复共轭。
• 在 $F_{\mathbb{C}}^n$ 上，拟共形映射是双利普希茨的，并保持多重叶状结构，包括由李代数层定义的叶状结构。
• 任何在 $F_{\mathbb{C}}^n$ 上的拟共形映射的潘苏微分几乎处处为恒等映射，意味着在与加权同构复合后，该映射为左平移。
• 在可能与复共轭复合后，这些映射是多项式且具有多项式逆，这是由于加权同构与左平移的结构所致。
• 结果表明，即使在非刚性Carnot群上，拟共形映射也表现出强烈的刚性，这与海森堡群（$n=2$）情形下的灵活性形成鲜明对比。