[论文解读] Quasipolynomial-time Identity Testing of Non-Commutative and Read-Once Oblivious Algebraic Branching Programs

Michael A. Forbes, Amir Shpilka|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 5

一句话总结

本文提出了首个针对只读一次盲式代数分支程序（ABPs）的准多项式时间黑箱身份测试算法，实现了大小为 $\exp(\lg^2 S)$ 的命中集，其中 $S$ 为电路规模。该方法利用求值维数与偏导数矩阵构造了针对 ABPs 及其相关类别的高效确定性 PIT，包括非交换 ABPs 和（半）对角深度-4 电路。

ABSTRACT

We study the problem of obtaining deterministic black-box polynomial identity testing algorithms (PIT) for algebraic branching programs (ABPs) that are read-once and oblivious. This class has an deterministic white-box polynomial identity testing algorithm (due to Raz and Shpilka), but prior to this work there was no known such black-box algorithm. The main result of this work gives the first quasi-polynomial sized hitting sets for size S circuits from this class, when the order of the variables is known. As our hitting set is of size exp(lg^2 S), this is analogous (in the terminology of boolean pseudorandomness) to a seed-length of lg^2 S, which is the seed length of the pseudorandom generators of Nisan and Impagliazzo-Nisan-Wigderson for read-once oblivious boolean branching programs. Our results are stronger for branching programs of bounded width, where we give a hitting set of size exp(lg^2 S/lglg S), corresponding to a seed length of lg^2 S/lglg S. This is in stark contrast to the known results for read-once oblivious boolean branching programs of bounded width, where no pseudorandom generator (or hitting set) with seed length o(lg^2 S) is known. In follow up work, we strengthened a result of Mulmuley, and showed that derandomizing a particular case of the Noether Normalization Lemma is reducible to black-box PIT of read-once oblivious ABPs. Using the results of the present work, this gives a derandomization of Noether Normalization in that case, which Mulmuley conjectured would difficult due to its relations to problems in algebraic geometry. We also show that several other circuit classes can be black-box reduced to read-once oblivious ABPs, including set-multilinear ABPs (a generalization of depth-3 set-multilinear formulas), non-commutative ABPs (generalizing non-commutative formulas), and (semi-)diagonal depth-4 circuits (as introduced by Saxena).

研究动机与目标

• 弥合只读一次盲式代数分支程序（ABPs）的白箱与黑箱多项式身份测试（PIT）之间的差距，其中白箱算法已知但黑箱算法尚未实现。
• 为具有规模 $S$ 与已知变量顺序的 ABPs 构建确定性黑箱 PIT 算法，实现准多项式时间复杂度。
• 将结果推广至更广泛的电路类，包括非交换 ABPs、集合-多线性 ABPs 以及（半）对角深度-4 电路。
• 证明：将诺特规范化引理的特定情形去随机化，等价于只读一次盲式 ABPs 的黑箱 PIT。
• 表明求值维数是一个有用的结构参数，可使黑箱 PIT 适用于一大类具有小求值维数的多项式。

提出的方法

• 定义并分析多项式的求值维数，即其在任意变量子集上的限制所张成空间的最大维数。
• 证明：若一个多项式的求值维数为 $r$，则其可由宽度 $\leq rn^2$ 与深度 $D$ 的只读一次盲式 ABP 计算。
• 利用非交换 ABP 理论中的偏导数矩阵技术，对计算给定多项式的 ABP 宽度进行上界估计。
• 通过结合求值维数与变量排序，为规模为 $S$ 的只读一次盲式 ABPs 构造大小为 $\exp(\lg^2 S)$ 的命中集。
• 通过在 $(D+1)\times(D+1)$ 矩阵上求值，将命中集构造方法应用于非交换 ABPs，其中 $D$ 为 ABP 深度。
• 将（半）对角深度-4 电路的 PIT 约化为只读一次盲式 ABPs 的 PIT，实现与同期工作一致的准多项式时间黑箱算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在已知白箱算法的前提下，为只读一次盲式 ABPs 构建确定性黑箱 PIT 算法？
• RQ2 能否将多项式的求值维数作为结构参数，以支持更广泛类别的多项式实现黑箱 PIT？
• RQ3 是否存在一个运行时间为准多项式的非交换 ABPs 黑箱 PIT 算法？
• RQ4 能否将诺特规范化的去随机化问题约化为只读一次盲式 ABPs 的黑箱 PIT？
• RQ5 能否将 ABP 相关类别的黑箱 PIT 中的准多项式时间开销降低至多项式时间？

主要发现

• 本文为具有已知变量顺序的规模为 $S$ 的只读一次盲式 ABPs 构建了大小为 $\exp(\lg^2 S)$ 的命中集，从而实现了准多项式时间复杂度的黑箱 PIT 算法。
• 对于有界宽度的 ABPs，命中集大小为 $\exp(\lg^2 S / \lg \lg S)$，显著小于一般情况，并优于已知的布尔伪随机性结果。
• 对于 $n$ 个变量、次数为 $d$ 且求值维数 $\leq r$ 的多项式类，其黑箱 PIT 可在时间 $\poly(n,d,r)^{\mathcal{O}(\lg n)}$ 内完成。
• 通过在 $(D+1)\times(D+1)$ 矩阵上求值，实现了对非交换 ABPs 的黑箱 PIT，其运行时间在电路规模上为准多项式。
• 本文表明，（半）对角深度-4 电路的黑箱 PIT 可约化为只读一次盲式 ABPs 的 PIT，实现了与当前最先进水平一致的准多项式时间算法。
• 通过结合 Kliwans 与 Shpilka 的重构算法，实现了对所研究的所有电路类（包括集合-多线性与非交换 ABPs）的确定性重构。