[论文解读] Quaternion Space-Time and Matter

Viktor Ariel|arXiv (Cornell University)|May 7, 2021

Relativity and Gravitational Theory参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文提出了一种使用实四元数描述时空与物质的新方法，其中时间间隔以具有复数极坐标形式的四元数表示，从而实现对洛伦兹时间膨胀和相对论性测量的统一描述。其主要贡献在于提出了一套基于四元数的形式体系，该体系在重现标准相对论结果的同时，在电磁场和引力场中引入了额外的标量和矢量分量，暗示了可经实验验证的新物理效应。

ABSTRACT

In this work, we use the concept of quaternion time and demonstrate that it can be applied for description of four-dimensional space-time intervals. We demonstrate that the quaternion time interval together with the finite speed of light propagation allow for a simple intuitive understanding of the time interval measurement during arbitrary relative motion between a signal source and observer. We derive a quaternion form of Lorentz time dilation and show that the norm corresponds to the traditional expression of the Lorentz transformation and represents the measured value of time intervals, making the new theory inseparable from the theory of measurement. We determine that the space-time interval in the observer reference frame is given by a conjugate quaternion expression, which is essential for proper definition of the quaternion derivatives in the observer reference frame. Then, we apply quaternion differentiation to an arbitrary potential, which leads to generalized Lorentz force. The second quaternion derivative of the potential leads to expressions similar to generalized Maxwell equations. Finally, we apply the resulting formalism to electromagnetic and gravitational interactions and show that the new expressions are similar to the traditional expressions, with the exception of additional terms, related to scalar fields, that need further study and experimental verification. Therefore, the new mathematical approach based on Hamilton's quaternions may serve as a useful foundation of the unified theory of space-time and matter.

研究动机与目标

• 开发一种使用实四元数而非闵可夫斯基时空的狭义相对论替代数学形式体系。
• 通过四元数时间间隔，提供一种直观且基于测量的时间膨胀解释。
• 通过四元数对广义势的微分，推广洛伦兹力与麦克斯韦型方程。
• 探讨四元数微积分是否能通过揭示额外的标量和矢量场分量，统一电磁与引力相互作用。

提出的方法

• 将时空区间表示为具有实标量时间分量和三个虚部空间分量的四元数，采用哈密顿四元数代数。
• 将四元数时间间隔定义为复数极坐标形式，以描述物理态之间的跃迁。
• 利用四元数时间间隔的模长推导洛伦兹时间膨胀，直接将理论预测与实验测量联系起来。
• 应用四元数共轭来建模观测者的参考系，确保在不同参考系中测量的时间间隔保持一致。
• 对广义势进行一阶和二阶四元数微分，推导出广义洛伦兹力与统一场方程。
• 将该形式体系应用于电磁与引力相互作用，识别出标准形式之外的额外标量与矢量项。

实验结果

研究问题

• RQ1 实四元数能否为描述相对论性时间间隔与测量提供一种连贯且直观的替代闵可夫斯基时空的方法？
• RQ2 四元数形式的时间间隔如何重现洛伦兹时间膨胀？模长在此推导中起到什么作用？
• RQ3 在使用四元数微积分时，广义洛伦兹力与场方程中会涌现出哪些新的物理分量（标量与矢量）？
• RQ4 观测者参考系中的共轭四元数表达式如何确保与测量时间间隔的一致性？
• RQ5 统一的四元数形式体系是否能自然地包含电磁与引力相互作用，并引入需要实验验证的额外项？

主要发现

• 四元数时间间隔的模长精确重现了标准洛伦兹时间膨胀公式，直接将理论推导与可测量的时间间隔联系起来。
• 共轭四元数时间间隔正确描述了观测者的参考系，即使在空间反演下也能保持测量时间长度不变。
• 对广义势进行四元数微分，得到的广义洛伦兹力表达式包含了经典形式之外的额外标量与矢量分量。
• 对势函数的二阶四元数微分导出统一表达式，类似于广义麦克斯韦方程，其中包含与标量场相关的新增项。
• 该形式体系重现了电磁场与引力场的已知结果，但引入了可能对应新物理效应的额外项。
• 实四元数的数学结构作为唯一的四维除法代数，为时空与物质的统一理论提供了坚实基础。