[论文解读] Quaternionic Computing

José M. Fernandez, William Alan Schneeberger|ArXiv.org|Jul 2, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于四元数的计算模型，其中量子类计算使用四元数而非复数，同时保持叠加、幺正性和投影测量的特性。关键结果表明，任何具有明确定义门操作顺序的四元数电路，均可通过仅增加一个量子比特的标准量子电路进行模拟，证明该模型的计算能力并不超过标准量子计算。

ABSTRACT

We introduce a model of computation based on quaternions, which is inspired on the quantum computing model. Pure states are vectors of a suitable linear space over the quaternions. Other aspects of the theory are the same as in quantum computing: superposition and linearity of the state space, unitarity of the transformations, and projective measurements. However, one notable exception is the fact that quaternionic circuits do not have a uniquely defined behaviour, unless a total ordering of evaluation of the gates is defined. Given such an ordering a unique unitary operator can be associated with the quaternionic circuit and a proper semantics of computation can be associated with it. The main result of this paper consists in showing that this model is no more powerful than quantum computing, as long as such an ordering of gates can be defined. More concretely we show, that for all quaternionic computation using n quaterbits, the behaviour of the circuit for each possible gate ordering can be simulated with n+1 qubits, and this with little or no overhead in circuit size. The proof of this result is inspired of a new simplified and improved proof of the equivalence of a similar model based on real amplitudes to quantum computing, which states that any quantum computation using n qubits can be simulated with n+1 rebits, and in this with no circuit size overhead. Beyond this potential computational equivalence, however, we propose this model as a simpler framework in which to discuss the possibility of a quaternionic quantum mechanics or information theory. In particular, it already allows us to illustrate that the introduction of quaternions might violate some of the ``natural'' properties that we have come to expect from physical models.

研究动机与目标

• 提出一种基于四元数的计算形式模型，受量子计算启发，但使用四元数作为振幅值。
• 研究四元数计算是否相较于标准量子计算具有计算优势。
• 探讨四元数振幅的奠基性含义，特别是其物理合理性与信息论特性。
• 证明四元数电路可被标准量子电路高效模拟，且开销极小。
• 利用该模型作为简化框架，研究非标准量子理论（如四元数量子力学）的自然性与一致性。

提出的方法

• 定义一个基于有限维四元数上希尔伯特空间中纯态射线的计算模型。
• 采用与量子计算相同的结构原则：叠加、线性性、幺正变换和投影测量。
• 引入门操作的全序关系，以解决电路行为的非唯一性问题，从而为每个电路唯一确定一个幺正算符。
• 证明任何具有固定门顺序的 $n$-四元比特电路，均可由一个 $(n+1)$-量子比特量子电路模拟，且电路规模无显著增加。
• 将实振幅量子计算（双比特）中的简化证明技术适配并推广至四元数情形，证明其与标准量子计算的等价性。
• 利用群论与代数结构（如单位根的平方根）分析该模型的对称性与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于四元数的计算模型是否能提供超越标准量子计算的计算能力？
• RQ2 四元数振幅中的非交换性对量子电路语义与确定性有何影响？
• RQ3 门操作全序要求对四元数电路的物理实现与一致性有何影响？
• RQ4 四元数计算在多大程度上可被标准量子电路模拟，且电路规模的开销如何？
• RQ5 四元数模型中会出现哪些基础性或信息论异常，以及它们如何挑战物理合理性？

主要发现

• 除非指定门操作的全序，否则四元数电路的行为无法唯一定义。
• 在固定门顺序下，每个四元数电路均可唯一关联一个幺正算符，从而实现计算语义的明确定义。
• 使用 $n$ 个四元比特的任何计算，均可通过一个 $n+1$ 个量子比特的量子电路模拟，且电路规模无显著增加。
• 该模型在计算上等价于标准量子计算，即使用四元数并未带来额外的计算能力。
• 用于双比特模拟的证明技术（$n$ 个量子比特用 $n+1$ 个双比特模拟）被适配并推广至四元数情形，证明了相同的等价性。
• 该模型揭示了潜在的基础性问题，如因果性与非定域性的破坏，提示四元数振幅可能并非物理上自然的。