[论文解读] Quenched and annealed equilibrium states for random Ruelle expanding maps and applications

Manuel Stadlbauer, Paulo Varandas+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用 5

一句话总结

该论文通过转移算子半群作用，首次在波兰空间上建立了随机Ruelle扩张映射的 quenched 与 annealed 平衡态的存在性。证明了相关性指数衰减、quenched 测度的Hölder连续性，并展示了如何从quenched态中恢复annealed态，将先前仅适用于紧致相空间与平稳随机性的结果推广至非紧相空间与非平稳随机性情形。

ABSTRACT

In this paper we describe the spectral properties of semigroups of expanding maps acting on Polish spaces, considering both sequences of transfer operators along infinite compositions of dynamics and integrated transfer operators. We prove that there exists a limiting behaviour for such transfer operators, and that these semigroup actions admit equilibrium states with exponential decay of correlations and several limit theorems. The reformulation of these results in terms of quenched and annealed equilibrium states extend results by Baladi (1997) and Carvalho, Rodrigues & Varandas (2017), where the randomness is driven by a random walk and the phase space is assumed to be compact. Furthermore, we prove that the quenched equilibrium measures vary Hölder continuously and that the annealed equilibrium states can be recovered from the latter. Finally, we give some applications in the context of weighted non-autonomous iterated function systems, free semigroup actions and on the boundary of equilibria.

研究动机与目标

• 将热力学形式化推广至非自治与非平稳的Ruelle扩张映射在非紧致波兰空间上的动力系统。
• 在相空间非紧致且不假设存在参考测度P的条件下，建立quenched与annealed平衡态的存在性。
• 在一般条件下，证明quenched平衡测度的相关性指数衰减与Hölder连续性。
• 证明在无平稳测度的条件下，可通过对路径空间的积分，从quenched测度中恢复annealed平衡态。
• 将该框架应用于非自治迭代函数系统、自由半群作用与边界平衡态。

提出的方法

• 分析波兰空间上无限重合Ruelle扩张映射的转移算子半群作用。
• 利用Vaserstein距离中的压缩性，证明转移算子的收敛性与平衡态的存在性。
• 对Ruelle算子理论进行重新表述，以处理映射序列，从而适用于非平稳动力系统。
• 将quenched平衡态定义为典型随机轨道上的条件测度，将annealed态定义为所有路径上的平均。
• 通过在空间H中利用小一致范数的同胚进行编码论证，实现从初值重构动力系统。
• 通过扰动的周期性与符号模式，递归重构半群词（S^m T^n）中的指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非紧致波兰空间上，为随机Ruelle扩张映射构造quenched与annealed平衡态？
• RQ2 这些平衡态在quenched设定下是否表现出相关性的指数衰减与Hölder连续性？
• RQ3 在无平稳测度的条件下，如何从quenched测度中恢复annealed平衡态？
• RQ4 转移算子半群在描述非自治动力系统统计性质中起什么作用？
• RQ5 热力学形式化能否推广至加权动力系统的自由半群作用与非自治IFS？

主要发现

• 沿Ruelle扩张映射无限复合的转移算子半群作用具有极限行为，从而保证了平衡态的存在性。
• 在适当的正则性条件下，quenched平衡测度存在，且关于随机路径Hölder连续变化。
• quenched与annealed平衡态的相关性均表现出指数衰减，表明具有强统计稳定性。
• 通过在路径空间上对quenched测度积分，可获得annealed平衡态，且annealed压强等于quenched压强的平均值。
• 该构造建立了{S,T}^N中无限词与最大熵测度之间的双射对应，证明了该半群是自由的。
• 对于非自治共形IFS与半群作用，该框架可构造不变测度，并描述边界平衡态。