[论文解读] Quenches in quantum many-body systems: One-dimensional Bose-Hubbard model reexamined

Guillaume Roux|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Oct 21, 2008

Quantum many-body systems被引用 6

一句话总结

该论文提出一种Lanczos对角化方法，用于计算淬火量子多体系统中时间平均密度矩阵 $\overline{\rho}$，并将其应用于一维玻色-哈伯德模型。研究揭示了从微扰（玻尔兹曼型）到非微扰淬火区域的交叉行为，即使在有限系统中，$\overline{\rho}$ 仍通过能量涨落和熵保留了初始态的记忆。

ABSTRACT

When a quantum many-body system undergoes a quench, the time-averaged density-matrix $ρ$ governs the time-averaged expectation value of any observable. It is therefore the key object to look at when comparing results with equilibrium predictions. We show that the weights of $ρ$ can be efficiently computed with Lanczos diagonalization for relatively large Hilbert spaces. As an application, we investigate the crossover from perturbative to non-perturbative quenches in the non-integrable Bose-Hubbard model: on finite systems, an approximate Boltzmann distribution is observed for small quenches, while for larger ones the distributions do not follow standard equilibrium predictions. Studying thermodynamical features, such as the energy fluctuations and the entropy, shows that $ρ$ bears a memory of the initial state.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于计算孤立量子多体系统在淬火后的时间平均密度矩阵 $\overline{\rho}$。
• 研究在非可积模型中，$\overline{\rho}$ 是否遵循平衡统计系综（如微正则或正则系综）。
• 确定 $\overline{\rho}$ 中的能量涨落和熵等热力学特征如何编码初始态的记忆。
• 绘制一维玻色-哈伯德系统在 $(U_i, U_f)$ 参数空间中的相图，并分析有限尺寸标度。
• 阐明平衡临界点 $U_c$ 在非平衡动力学中的作用，以及淬火区域之间交叉的性质。

提出的方法

• 使用Lanczos对角化（LD）方法计算淬火后哈密顿量 $\mathcal{H}$ 的本征态与本征值，从而能够访问较大的希尔伯特空间。
• 通过初始态 $|\psi_0\rangle$ 与淬火后本征态 $|\phi_n\rangle$ 的重叠计算权重 $p_n = |\langle\psi_0|\phi_n\rangle|^2$，构建时间平均密度矩阵 $\overline{\rho} = \sum_n p_n |\phi_n\rangle\!\langle\phi_n|$。
• 该方法避免了直接时间演化，转而聚焦于对角系综，其中时间平均可观测量由 $\overline{O} = \text{Tr}[\overline{\rho} O]$ 决定。
• 通过计算能量涨落 $\Delta E$ 和熵 $S[\overline{\rho}]$ 来量化 $\overline{\rho}$ 的热力学特征，并评估其与平衡系综的偏离程度。
• 对 $\Delta F_c$、$\lambda_c$ 和相对能量涨落应用有限尺寸标度，以分析收敛性并识别临界行为。
• 将相对能量涨落 $\Delta E/E$ 进行重标度，以分离初始态关联的影响，发现在超流相中呈现 $1/\sqrt{L}$ 标度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维玻色-哈伯德模型中，时间平均密度矩阵 $\overline{\rho}$ 是否遵循微正则或正则分布等标准平衡系综？
• RQ2 在非可积系统中，$\overline{\rho}$ 中的能量涨落和熵如何反映初始态的记忆？
• RQ3 在一维玻色-哈伯德模型中，微扰与非微扰淬火区域之间的交叉性质是什么？
• RQ4 有限尺寸效应如何影响临界点 $\Delta F_c$ 的位置以及 $\lambda_c$ 的标度行为？
• RQ5 平衡临界点 $U_c$ 在多大程度上控制淬火后的非平衡动力学？

主要发现

• 对于小淬火，$\overline{\rho}$ 中的权重 $p_n$ 近似服从玻尔兹曼分布，表明处于微扰区域。
• 对于大淬火，$p_n$ 的分布显著偏离平衡系综，表明处于具有非平衡统计的非微扰区域。
• 相对能量涨落 $\Delta E/E$ 呈现 $f(U_i, L)/\sqrt{L}$ 依赖关系，其中 $f$ 几乎与系统尺寸 $L$ 无关，与超流相中 $1/\sqrt{L}$ 标度一致。
• $\overline{\rho}$ 中的能量涨落依赖于初始态的密度-密度关联，$\Delta E$ 呈 $\sqrt{L} g(L)$ 标度，其中 $g(L)$ 取决于幂律关联的指数 $\alpha$。
• $\overline{\rho}$ 中的每粒子熵 $s$ 随淬火强度 $\lambda$ 连续增加，且具有相同平均能量的两个态可能具有不同的熵，证实了初始态的记忆。
• 有限尺寸标度表明，$\lambda_c(L)$（交叉点）在大 $U_{i,f}$ 条件下偏离平衡临界点 $\lambda_c^{eq}$，表明 $U_c$ 并不控制非平衡交叉。