[论文解读] Questions on mod p representations of reductive p-adic groups

Noriyuki Abe, Guy Henniart+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文研究了在特征 $p$ 的代数闭域上，半单 $p$-进群表示理论中的基础性问题，重点关注模 $p$ 表示中的可约性、超奇性及 Hecke 特征值。论文提出了一套框架，通过 Hecke 代数、Parahoric 子群与 Satake 同态的联系，解决超奇异表示的存在性与分类问题，关键结果将超奇异性与超奇性及可约性联系起来。

ABSTRACT

This is a list of questions raised by our joint work arXiv:1412.0737 and its sequels.

研究动机与目标

• 理解在特征 $p$ 域上，半单 $p$-进群的不可约光滑表示是否可约，这是当前分类定理中的一个关键假设。
• 确定不可约光滑表示是否具有中心特征标，这是在许多情形下可约性的必要条件。
• 研究在 $G$ 不是 $ {GL}(2)$ 时，模 $p$ 设置下是否存在超 cuspidal 表示。
• 考察在基域特征为 $p$ 时，可约性在商表示与抛物诱导下的行为，特别是与子商的相容性。
• 通过 Hecke 代数澄清超奇异 Hecke 特征值、不可约表示与诱导表示结构之间的关系。

提出的方法

• 利用 Satake 同态将 $G$ 及其 Levi 子群的 Hecke 代数联系起来，从而定义超奇异表示。
• 应用抛物诱导与 Jacquet 赋函子，研究在特征 $p$ 下的可约性与子商的相容性。
• 使用与 pro-$p$ Iwahori 子群相关的 Hecke 代数 $H$，分析 $I$-不变量及其在紧支集诱导表示上的作用。
• 在紧支集诱导表示上引入滤过结构 $I_n(G,K,V)$，以研究收敛性与有限性性质。
• 利用 $H(G,K,V)$ 与 $I$-不变量自同态之间的同构，将模理论性质与表示论性质联系起来。
• 利用代数 $R_G$ 作为 Hecke 代数 $Z(G,K,V)$ 的商，定义基于 $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ 的表示，并检验其非零性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于代数闭域 $R$（特征为 $p$），$G(F)$ 的每个不可约光滑 $R$-表示是否都是可约的？
• RQ2 对于代数闭域 $R$（特征为 $p$），$G(F)$ 的每个不可约光滑 $R$-表示是否都具有中心特征标？
• RQ3 $G(F)$ 是否存在超 cuspidal $R$-表示，尤其当 $G$ 不是 $ {GL}(2)$ 时？
• RQ4 若 $V$ 是 $G(F)$ 的有限长度可约 $R$-表示，且 $ {char} hinspace F = p$，则 $V$ 的每个商表示是否都是可约的？
• RQ5 对于一个超奇异 Hecke 特征值 $ {char}:Z(G,K,V) o R$，其对应的表示 $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ 是否非零？

主要发现

• 若问题 1（不可约光滑表示的可约性）的答案为肯定，则所有不可约可约表示均具有中心特征标，从而解决问题 2。
• 若 $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ 存在一个非零不可约商表示，且其具有超奇异 Hecke 特征值，则表明存在超 cuspidal 表示，从而将问题 12 与问题 3 联系起来。
• $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ 具有一个递减滤过 $(I_n(G,K,V))$，且该滤过有限性等价于当 Hecke 特征值为超奇异时 $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ 的非零性。
• 对于任意特殊 Parahoric $K$ 与权 $V$，存在超奇异 Hecke 特征值 $ {char}:Z(G,K,V) o R$，从而保证候选表示的存在性。
• 自然映射 $ {char} igotimes ( {ind}_{K}^{G(F)}V)^I \to {ind}_{K}^{G(F)}V$ 是单射，且当 $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ 可约时，其余核是有限维的。
• 对于不可约可约表示，$ {ind}_{K}^{G(F)}V$ 作为 $H$-模为超奇异，当且仅当其 $I$-不变量为超奇异；论文进一步询问该等价性是否可推广至 $ {ind}_{K}^{G(F)}V$ 的不可约商表示。