[论文解读] Quillen equivalences between the model categories of smooth spaces, simplicial sets, and arc-gengerated spaces

Hiroshi Kihara|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Intracranial Aneurysms: Treatment and Complications参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文建立了单纯集、微分同胚空间与弧生成空间的模型范畴之间的Quillen等价性，证明了通过伴随函子，其同伦理论是等价的。此外，本文进一步表明Chen空间也具有紧生成的模型结构，且Chen空间与微分同胚空间之间的伴随函子对构成Quillen等价性，从而统一了这些范畴中的光滑同伦理论。

ABSTRACT

In the preceding paper, we have constructed a compactly generated model structure on the category $\dcal$ of diffeological spaces together with the adjoint pairs $|\ |_\dcal : \scal ightleftarrows \dcal : S^\dcal$ and $ ilde{\cdot} : \dcal ightleftarrows \ccal^0 : R$, where $\scal$ and $\ccal^0$ denote the category of simplicial sets and that of arc-generated spaces, respectively. In this paper, we show that $(|\ |_\dcal, S^\dcal)$ and $( ilde{\cdot}, R)$ are pairs of Quillen equivalences. Since our approach developed in the preceding paper applies to the category $\ccal h$ of Chen spaces as well, $\ccal h$ is also a compactly generated model category. We also show that the adjoint pair $\mathfrak{S}_\mathfrak{o} : \ccal h ightleftarrows \dcal : \mathfrak{Ch}^\sharp$ introduced by Stacey is a pair of Quillen equivalences.

研究动机与目标

• 建立单纯集、微分同胚空间与弧生成空间的模型范畴之间的Quillen等价性。
• 将紧生成模型结构推广至Chen空间，并证明其与微分同胚空间Quillen等价。
• 证明Stacey提出的Chen空间与微分同胚空间之间的伴随函子对为Quillen等价性。
• 通过同伦等价性，统一不同广义光滑空间范畴中的光滑同伦理论。
• 通过导出等价性，为研究无穷维$C^\infty$-流形的同伦类型提供基础。

提出的方法

• 利用伴随函子对$|\,|_{\mathcal{D}}: \mathcal{S} \rightleftarrows \mathcal{D} : S^{\mathcal{D}}$与$\tilde{\cdot}: \mathcal{D} \rightleftarrows \mathcal{C}^0 : R$，在微分同胚空间范畴上构造紧生成的模型结构。
• 为微分同胚空间发展奇异同调理论，证明其自然同构于Hector与Iglesias-Zemmour的立方同调。
• 利用奇异同调结果与微分同胚空间的纤维性，证明伴随函子对$|\,|_{\mathcal{D}}$与$\tilde{\cdot}$为Quillen等价性。
• 将模型结构构造扩展至Chen空间，证明$\mathcal{C}h$为紧生成的模型范畴。
• 通过单形的保持性与初始结构的保持性，证明Stacey伴随函子对$\mathfrak{S}_{\mathfrak{o}}: \mathcal{C}h \rightleftarrows \mathcal{D} : \mathfrak{Ch}^{\sharp}$为Quillen等价性。
• 建立一个包含所有四类范畴$\mathcal{S}$、$\mathcal{C}h$、$\mathcal{D}$与$\mathcal{C}^0$的Quillen等价性交换图。

实验结果

研究问题

• RQ1 伴随函子对$|\,|_{\mathcal{D}}: \mathcal{S} \rightleftarrows \mathcal{D} : S^{\mathcal{D}}$与$\tilde{\cdot}: \mathcal{D} \rightleftarrows \mathcal{C}^0 : R$是否为各自模型范畴之间的Quillen等价性？
• RQ2 Chen空间范畴$\mathcal{C}h$是否具有与光滑结构相容的紧生成模型结构？
• RQ3 Stacey伴随函子对$\mathfrak{S}_{\mathfrak{o}}: \mathcal{C}h \rightleftarrows \mathcal{D} : \mathfrak{Ch}^{\sharp}$是否为Quillen等价性？
• RQ4 微分同胚空间中胞状对象的同伦类型如何与光滑空间的奇异同调及同伦群相关联？
• RQ5 在何种条件下，$S^{\mathcal{D}}(X,Y)$与$S^{\mathcal{C}^0}(\tilde{X},\tilde{Y})$对微分同胚空间$X,Y$是同伦等价的？

主要发现

• 伴随函子对$|\,|_{\mathcal{D}}: \mathcal{S} \rightleftarrows \mathcal{D} : S^{\mathcal{D}}$为Quillen等价性，建立了单纯集与微分同胚空间之间的同伦等价。
• 伴随函子对$\tilde{\cdot}: \mathcal{D} \rightleftarrows \mathcal{C}^0 : R$为Quillen等价性，将微分同胚空间与弧生成空间联系起来。
• Chen空间$\mathcal{C}h$具有紧生成的模型结构，使其成为光滑同伦理论的有效同伦范畴。
• Stacey伴随函子对$\mathfrak{S}_{\mathfrak{o}}: \mathcal{C}h \rightleftarrows \mathcal{D} : \mathfrak{Ch}^{\sharp}$为Quillen等价性，统一了Chen空间与微分同胚空间在同伦理论中的角色。
• 函子$\tilde{\cdot}$与$R$的导出函子在$\mathcal{D}$与$\mathcal{C}^0$之间诱导出Quillen同伦范畴的等价性，尽管不必然在映射空间之间成立。
• 微分同胚空间的奇异同调自然同构于Hector与Iglesias-Zemmour的立方同调，验证了该同调理论在此语境下的合理性。