[论文解读] r-extended Lah-Bell numbers and polynomials associated with r-Lah numbers

Dae San Kim, Taekyun Kim|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2020

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文引入了 r-扩展 Lah-Bell 数与多项式，作为 Lah 数的组合扩展，建立了其与参数为 α 的泊松随机变量偏移 2r 后的上升阶乘矩之间的联系。通过生成函数与 umbra 计算，推导出递推关系、类似 Dobinski 的公式以及矩恒等式，证明了 X+2r（X 为参数为 α 的泊松分布）的第 n 个上升阶乘矩等于在 α 处求值的 r-扩展 Lah-Bell 多项式。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study some basic properties of the r$-extended Lah-Bell numbers and polynomials associated with r-Lah numbers and to show the connection between the r-extended Lah-Bell polynomials and the rising factorial moments of the Poisson random variable shifted by an even nonnegative integer 2r. Here the nth r-extended Lah-Bell number counts the number of ways a set of n+r elements can be partitioned into non-empty linearly ordered subsets such that r distinguished elements have to be in distinct linearly ordered subsets and the r-extended Lah-Bell polynomials are natural extensions of the r-extended Lah-Bell numbers.

研究动机与目标

• 定义并研究 r-扩展 Lah-Bell 数与多项式，作为 r-Lah 數的自然扩展。
• 推导 r-扩展 Lah-Bell 数与多项式的递推关系与生成函数。
• 建立 r-扩展 Lah-Bell 数与 r-扩展 Bell 数之间的联系，以及 r-Lah 數与第二类 Stirling 多项式之间的联系。
• 展示 X+2r（X ~ 泊松(α)）的上升阶乘矩与 r-扩展 Lah-Bell 多项式之间全新的联系。

提出的方法

• 将 r-扩展 Lah-Bell 数定义为对 k 求和的 r-Lah 数：$ B_{n,r}^{L} = \sum_{k=0}^{n} L_r(n,k) $。
• 推导 r-扩展 Lah-Bell 多项式的指数生成函数：$ \sum_{n=0}^{\infty} B_{n,r}^{L}(x) \frac{t^n}{n!} = \exp\left( x\left( \frac{1}{1-t} - 1 \right) \right) \left( \frac{1}{1-t} \right)^{2r} $。
• 利用概率生成函数将 $ E[\langle X+2r\rangle_n] $ 与 $ B_{n,r}^{L}(\alpha) $ 联系起来，其中 X ~ 泊松(α)。
• 应用 umbra 计算与涉及第一类与第二类 Stirling 数的反演公式，将 r-Lah 数用 Stirling 多项式表示，反之亦然。
• 建立 r-Lah 数的卷积恒等式：$ \binom{m+k}{m} L_{2r}(n,m+k) = \sum_{l=m}^{n-k} \binom{n}{l} L_r(l,m) L_r(n-l,k) $。
• 利用生成函数恒等式与矩生成函数，推导出 r-扩展 Lah-Bell 数与多项式的类似 Dobinski 公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 r-扩展 Lah-Bell 数与多项式如何被系统地定义并从组合与分析角度表征？
• RQ2 r-扩展 Lah-Bell 多项式的生成函数是什么？它如何与泊松分布相关联？
• RQ3 r-扩展 Lah-Bell 数如何与 r-扩展 Bell 数及第二类 Stirling 多项式相联系？
• RQ4 X+2r 的上升阶乘矩在 r-扩展 Lah-Bell 多项式下的组合或概率解释是什么？
• RQ5 能否为 r-扩展 Lah-Bell 数推导出递推关系与类似 Dobinski 的公式？

主要发现

• 偏移 2r 后的泊松随机变量 X 的上升阶乘矩 $ E[\langle X+2r\rangle_n] $ 等于在 α 处求值的 r-扩展 Lah-Bell 多项式：$ E[\langle X+2r\rangle_n] = B_{n,r}^{L}(\alpha) $。
• r-扩展 Lah-Bell 多项式的生成函数为 $ \sum_{n=0}^{\infty} B_{n,r}^{L}(x) \frac{t^n}{n!} = \exp\left( x\left( \frac{1}{1-t} - 1 \right) \right) \left( \frac{1}{1-t} \right)^{2r} $。
• 推导出 r-扩展 Lah-Bell 数的类似 Dobinski 公式：$ B_{n,r}^{L} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} (-1)^{k-j} \frac{(n+r)!}{(n+r-j)!} $，尽管其确切形式隐含于生成函数之中。
• r-扩展 Lah-Bell 数满足递推关系 $ B_{n,r}^{L} = \sum_{k=0}^{n} L_r(n,k) $，其中 $ L_r(n,k) $ 通过将 n+r 个元素划分为 k+r 个有序块且 r 个特殊元素位于不同块中的组合划分方式定义。
• 给出了 $ B_{n,r}^{L}(\alpha) $ 的显式表达式：$ \sum_{l=0}^{n} \sum_{k=l}^{n} L_r(n,k) S_1(k,l) B_l(\alpha) $，其中 $ B_l(\alpha) $ 为 Bell 多项式。
• 建立了 r-Lah 数的卷积恒等式：$ \binom{m+k}{m} L_{2r}(n,m+k) = \sum_{l=m}^{n-k} \binom{n}{l} L_r(l,m) L_r(n-l,k) $。