[论文解读] Radii of starlikeness and convexity of Wright functions

Árpád Baricz, Evrim Toklu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2017

Analytic and geometric function theory被引用 12

一句话总结

本文通过Mittag-Leffler展开式及实零点的性质，研究了三种归一化形式的Wright函数的星性与凸性半径。通过将Euler-Rayleigh不等式应用于相关超越方程的最小正零点，作者推导出零阶星性与凸性半径的紧致下界与上界，将经典Bessel函数的相关结果推广至Wright函数框架。

ABSTRACT

In this paper our aim is to find the radii of starlikeness and convexity of the normalized Wright functions for three different kind of normalization. The key tools in the proof of our main results are the Mittag-Leffler expansion for Wright function and properties of real zeros of Wright function and its derivative. In addition, by using the Euler-Rayleigh inequalities we obtain some tight lower and upper bounds for the radii of starlikeness and convexity of order zero for the normalized Wright functions. The main results of the paper are natural extensions of some known results on classical Bessel functions of the first kind. Some open problems are also proposed, which may be of interest for further research.

研究动机与目标

• 确定三种归一化Wright函数的星性与凸性半径。
• 将经典Bessel函数已知结果推广至更广泛的Wright函数类。
• 通过Euler-Rayleigh不等式，建立零阶星性与凸性半径的紧致下界与上界。
• 通过Laguerre-Pólya类分析Wright函数及其导数的实零点结构。
• 为未来研究Wright函数的几何性质提出开放问题。

提出的方法

• 利用Wright函数及其导数的Mittag-Leffler展开式，将其表示为实零点上的无穷乘积。
• 应用Laguerre-Pólya类理论，确保所导函数的所有零点均为实且单重。
• 对倒数零点的幂和应用Euler-Rayleigh不等式，推导最小正零点的边界。
• 推导函数对数导数的无穷级数表示，以匹配系数并计算幂和。
• 利用对数导数实部的解析条件，表征星性与凸性。
• 通过单调性论证，确立定义半径的超越方程解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 三种归一化Wright函数的星性与凸性半径的确切值是什么？
• RQ2 Wright函数的星性与凸性半径与经典Bessel函数的对应半径相比如何？
• RQ3 能否为零阶星性与凸性半径推导出紧致的下界与上界？
• RQ4 Wright函数及其导数的实零点在决定几何性质中起什么作用？
• RQ5 将几何函数论结果推广至Wright函数时，会引出哪些开放问题？

主要发现

• 归一化Wright函数的零阶星性半径是涉及函数导数与自身之比的超越方程的最小正解。
• 零阶凸性半径由涉及二阶导数的另一超越方程的最小正解确定。
• 通过将Euler-Rayleigh不等式应用于Wright函数导数的零点倒数平方的前两个幂和，获得了零阶星性半径的紧致边界。
• 对于零阶凸性半径，类似地通过Wright函数二阶导数的零点倒数的前两个幂和推导出边界。
• Wright函数导数的最小正零点决定了零阶星性半径，且该零点是孤立且单重的。
• 结果推广了关于第一类Bessel函数的已知结论，表明Wright函数在几何性质上表现出类似行为。