[论文解读] Rainbow vertex-connection number of 2-connected graphs

Xueliang Li, Sujuan Liu|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2011

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文确定了环的彩虹顶点连通数，并证明对于任意2-连通图，其彩虹顶点连通数至多等于同阶环的彩虹顶点连通数，从而给出了一个紧致的上界。该结果通过块分解推广至一般连通图，得到了基于块连通数与割点的上界表达式，并提出了一种构造性着色方法，最多使用 ⌈|B₁|/2⌉ + ⋯ + ⌈|Bₖ|/2⌉ + t 种颜色。

ABSTRACT

The {\em rainbow vertex-connection number}, $rvc(G)$, of a connected graph $G$ is the minimum number of colors needed to color its vertices such that every pair of vertices is connected by at least one path whose internal vertices have distinct colors. In this paper we first determine the rainbow vertex-connection number of cycle $C_n$ of order $n\geq 3$, and then, based on it, prove that for any 2-connected graph $G$, $rvc(G)\leq rvc(C_n)$, giving a tight upper bound for the rainbow vertex-connection. As a consequence, we show that for a connected graph $G$ with a block decomposition $B_1, B_2, ..., B_k$ and $t$ cut vertices, $rvc(G)\leq rvc(B_1)+rvc(B_2)+ ... +rvc(B_k)+t$.

研究动机与目标

• 确定所有 n ≥ 3 的环 Cₙ 的彩虹顶点连通数。
• 通过基于环的分析，为2-连通图的彩虹顶点连通数建立紧致上界。
• 通过块分解与割点，将该界推广至一般连通图。
• 提供一种构造性方法，使用有界数量的颜色生成有效的彩虹顶点着色。

提出的方法

• 本文使用耳分解，通过归纳方式从环构建2-连通图，从而支持归纳着色论证。
• 定义了一种修正的彩虹路径，仅允许端点顶点共享颜色，并引入修正的彩虹顶点着色，以促进归纳构造。
• 对于环，本文对较小的 n 精确计算了 rvc(Cₙ)，并基于 n 推导出闭式表达式，区分 n = 3、4–5、6–13、14 以及 ≥16 的情况。
• 对于2-连通图，着色构造通过从子图 Gₜ 扩展到完整图 G 的方式，仔细为新耳中的顶点分配颜色，使用新颜色或已有颜色以保持彩虹连通性。
• 对于一般连通图，该方法将图分解为块，为非完全块分配不相交的颜色集合，并为割点使用不同颜色。
• 该构造确保任意两个顶点之间存在一条彩虹路径，通过利用块之间的连通性与修正的彩虹路径性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阶数 n ≥ 3 的环 Cₙ，其彩虹顶点连通数的精确值是什么？
• RQ2 任意2-连通图 G 的彩虹顶点连通数能否被其同阶环的彩虹顶点连通数上界控制？
• RQ3 连通图的块分解如何影响其彩虹顶点连通数？
• RQ4 是否存在一种构造性方法，基于其块与割点，使用有界数量的颜色生成连通图的彩虹顶点着色？

主要发现

• 环 Cₙ 的彩虹顶点连通数为：当 n = 3 时为 0，当 n = 4 或 5 时为 1，当 n = 9 时为 3，当 n ∈ {6,7,8,10,11,12,13,15} 时为 ⌈n/2⌉ − 1，当 n = 14 或 n ≥ 16 时为 ⌈n/2⌉。
• 对于任意阶数为 n 的2-连通图 G，有 rvc(G) ≤ rvc(Cₙ)，且该上界是紧致的。
• 对于任意具有块分解 B₁,…,Bₖ 与 t 个割点的连通图 G，有 rvc(G) ≤ rvc(B₁) + ⋯ + rvc(Bₖ) + t。
• 存在一种构造性着色方法，最多使用 ⌈|B₁|/2⌉ + ⋯ + ⌈|Bₖ|/2⌉ + t 种颜色，即可实现彩虹顶点连通性。
• 修正的彩虹顶点着色概念在耳分解的归纳步骤证明中起关键作用，允许在路径端点处受控地重用颜色。
• 所有阶数为 n 的2-连通图均满足 rvc(G) ≤ ⌈n/2⌉，且当 n ≥ 16 时该上界对环是紧致的。