[论文解读] Ramanujan circulant graphs and the conjecture of Hardy-Littlewood and Bateman-Horn

Miki Hirano, Kohei Katata+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2013

Graph theory and applications参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文确定了在保持拉马努金性质的前提下，从奇完全图中可移除的最大边数，表明该上界仅在极少数情况下比平凡估计高出两个。这些例外情况恰好出现在顶点数为特定二次多项式表示的素数或两个不同素数的乘积时，且在 Hardy-Littlewood 与 Bateman-Horn 猜想下，此类情况无限次出现。

ABSTRACT

In this paper, we determine the bound of the valency of the odd circulant graph which guarantees to be a Ramanujan graph for each fixed number of vertices. In almost of the cases, the bound coincides with the trivial bound, which comes from the trivial estimate of the largest non-trivial eigenvalue of the circulant graph. As exceptional cases, the bound in fact exceeds the trivial one by two. We then prove that such exceptionals occur only in the cases where the number of vertices has at most two prime factors and is represented by a quadratic polynomial in a finite family and, moreover, under the conjecture of Hardy-Littlewood and Bateman-Horn, exist infinitely many.

研究动机与目标

• 确定在保持拉马努金性质的前提下，从奇完全图中可移除的最大边数。
• 识别出当度数上界比平凡估计高出两个的例外情况。
• 将此类例外图的存在性与解析数论中的深刻猜想（特别是 Hardy-Littlewood 与 Bateman-Horn 猜想）联系起来。
• 将分析从循环群推广到一般奇阿贝尔群，识别出非循环群在何种情况下可支持例外的拉马努金循环图。

提出的方法

• 定义奇循环图的集合，并利用循环群 ℤₘ 的特征分析其特征值。
• 使用拉马努金界 2√(k−1) 确定最大非平凡特征值的阈值。
• 建立一个平凡下界 l₀,m = 2⌊√m − 3/2⌋ + 1，作为可移除边数的最大值的下界，该下界源自谱估计。
• 识别出当 εₘ = 2 时的例外情况，仅当 m 可表示为二次多项式 k² + 5k + c（其中 c ∈ {±1, ±3, ±5}）时发生。
• 使用特征和估计来界定最大非平凡特征值，特别是利用非平凡特征 χ₀ 来检验拉马努金条件。
• 使用中国剩余定理与群分解分析非循环阿贝尔群，证明仅当 p ≤ 17 时，群 ℤₚ ⊕ ℤₚ 可能为例外。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，拉马努金奇循环图的度数上界会超过平凡谱估计？
• RQ2 当从完全图 Kₘ 中移除 l 条边后，奇循环图在何种情况下仍保持拉马努金性质？
• RQ3 例外拉马努金循环图的存在性与 Hardy-Littlewood 及 Bateman-Horn 猜想之间有何联系？
• RQ4 哪些非循环有限阿贝尔群（奇阶）可支持例外的拉马努金循环图？
• RQ5 群的结构（循环与非循环）如何影响保持拉马努金性质的前提下可移除边数的最大值？

主要发现

• 在保持拉马努金性质的前提下，从 Kₘ 中可移除的最大边数为  l̂ₘ = l₀,ₘ + εₘ，其中 l₀,ₘ = 2⌊√m − 3/2⌋ + 1，且 εₘ ∈ {0, 2}。
• 当 m 为素数或两个不同素数 p < q < 4p 的乘积，且 m 可表示为 k² + 5k + c（c ∈ {±1, ±3, ±5}）时，出现 εₘ = 2 的例外情况。
• 在 Hardy-Littlewood 与 Bateman-Horn 猜想下，存在无穷多个此类例外的 m，意味着存在无穷多个例外的拉马努金循环图。
• 对于非循环阿贝尔群，仅当 ℤₚ ⊕ ℤₚ 且 p ≤ 17 时可能为例外，且当 p = 7, 11, 13, 17 时，上界比 l₀ 超出 2；当 p = 5 时，超出 4。
• 此类例外图的存在性与谱隙及特征和估计密切相关，最大非平凡特征值仅在群结构与 m 的算术性质精确匹配时才达到拉马努金界。
• 对于所有其他奇阿贝尔群（包括具有超过两个循环因子或更高 p-幂结构的群），图均为普通图，即 εₘ = 0。