[论文解读] Randić energy and Randić eigenvalues

Xueliang Li, Jianfeng Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2014

Graph theory and applications参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文建立了图 G 的归一化无符号拉普拉斯特征值与其细分图 S(G) 的 Randić 能量之间的联系，证明了 S(G) 的 Randić 能量由 G 的无符号拉普拉斯矩阵的特征值决定。此外，本文给出了连通图恰好具有 k 个不同 Randić 特征值的充要条件，并利用 Perron-Frobenius 向量和矩阵消去多项式，对 k=2 和 k=3 的情况给出了显式刻画。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph of order $n$, and $d_i$ the degree of a vertex $v_i$ of $G$. The Randić matrix ${\bf R}=(r_{ij})$ of $G$ is defined by $r_{ij} = 1 / \sqrt{d_jd_j}$ if the vertices $v_i$ and $v_j$ are adjacent in $G$ and $r_{ij}=0$ otherwise. The normalized signless Laplacian matrix $\mathcal{Q}$ is defined as $\mathcal{Q} =I+\bf{R}$, where $I$ is the identity matrix. The Randić energy is the sum of absolute values of the eigenvalues of $\bf{R}$. In this paper, we find a relation between the normalized signless Laplacian eigenvalues of $G$ and the Randić energy of its subdivided graph $S(G)$. We also give a necessary and sufficient condition for a graph to have exactly $k$ and distinct Randić eigenvalues.

研究动机与目标

• 建立图 G 的归一化无符号拉普拉斯特征值与其中细分图 S(G) 的 Randić 能量之间的谱关系。
• 确定连通图恰好具有 k 个不同 Randić 特征值的充要条件。
• 利用矩阵代数和谱性质，刻画恰好具有两个和三个不同 Randić 特征值的图。
• 通过最小多项式和 Perron-Frobenius 理论，拓展对 Randić 特征值重数和结构的理解。

提出的方法

• 通过分块矩阵分解和 Schur 补公式，推导出细分图 S(G) 的 Randić 矩阵的行列式恒等式。
• 利用恒等式 $ \phi_{\mathbf{R}}(S(G),\lambda) = \frac{\lambda^{m-n}}{2^n} \phi_{\mathcal{Q}}(G, 2\lambda^2) $，将 S(G) 的 Randić 多项式与 G 的归一化无符号拉普拉斯多项式联系起来。
• 应用 Perron-Frobenius 定理，确保在连通图中，Randić 矩阵的最大特征值为 1 且重数为一。
• 使用 Randić 矩阵 $ \mathbf{R} $ 的最小多项式，证明当存在 k 个不同特征值时，其最小多项式为 $ (\lambda - 1)(\lambda - \rho_2)\cdots(\lambda - \rho_k) $。
• 推导出矩阵方程 $ \prod_{i=2}^{k}(\mathbf{R} - \rho_i I) = c \alpha \alpha^T $，其中 $ c = \frac{\prod_{i=2}^{k}(1 - \rho_i)}{2m} $，将特征值与 Perron 向量 $ \alpha $ 联系起来。
• 分析矩阵方程的对角线和非对角线元素，推导出恰好具有 k 个不同 Randić 特征值的图的度数和公共邻居条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 细分图 S(G) 的 Randić 特征值如何与图 G 的归一化无符号拉普拉斯特征值相关？
• RQ2 何种谱条件可确保连通图恰好具有 k 个不同 Randić 特征值？
• RQ3 具有恰好两个不同 Randić 特征值的图会引发何种结构约束？
• RQ4 何种度数和公共邻居条件可刻画恰好具有三个不同 Randić 特征值的图？
• RQ5 能否利用 Randić 矩阵的最小多项式来刻画具有给定数量不同特征值的图？

主要发现

• 细分图 S(G) 的 Randić 能量完全由归一化无符号拉普拉斯矩阵 $ \mathcal{Q}(G) $ 的特征值决定，其关系为 $ \phi_{\mathbf{R}}(S(G),\lambda) = \frac{\lambda^{m-n}}{2^n} \phi_{\mathcal{Q}}(G, 2\lambda^2) $。
• 连通图恰好具有两个不同 Randić 特征值当且仅当它是完全图，通过将特征值 $ 1 $ 和 $ -\frac{1}{n-1} $ 代入矩阵方程并推导出对所有顶点有 $ d_i = n-1 $ 得到该结论。
• 对于恰好具有三个不同 Randić 特征值 $ 1, \rho_2, \rho_3 $ 的图，必须满足条件：$ \sum_{v_j \sim u_i} \frac{1}{d_j} = c d_i^2 - \rho_2 \rho_3 d_i $，$ \delta_{ij} = c d_i d_j + \rho_2 + \rho_3 $，以及 $ \sigma_{ij} = c d_i d_j $，其中 $ c = \frac{(1 - \rho_2)(1 - \rho_3)}{2m} $。
• 正则连通图恰好具有三个不同 Randić 特征值当且仅当它是强正则图，因为度数和公共邻居条件退化为强正则图的参数。
• 当存在 k 个不同特征值时，Randić 矩阵 $ \mathbf{R} $ 的最小多项式为 $ (\lambda - 1)(\lambda - \rho_2)\cdots(\lambda - \rho_k) $，且该多项式可消去 $ \mathbf{R} $。
• 矩阵方程 $ \prod_{i=2}^{k}(\mathbf{R} - \rho_i I) = c \alpha \alpha^T $ 成立，其中 $ c = \frac{\prod_{i=2}^{k}(1 - \rho_i)}{2m} $，这为具有 k 个不同 Randić 特征值的图提供了完整的代数刻画。