[论文解读] Randić Incidence Energy of Graphs

Ran Gu, Fei Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2014

Graph theory and applications参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文引入了图的Randić关联能量（IRE），定义为Randić关联矩阵的奇异值之和，其中Randić关联矩阵定义为 $ I_R(G) = D^{-1/2}I(G) $，$ D $ 为度矩阵，$ I(G) $ 为标准关联矩阵。本文建立了IRE的紧致界，证明在所有 $ n $ 个顶点的树中，星图 $ S_n $ 的IRE最大，并表明对于二分图，上界为 $ n - 2 + \sqrt{2} $，且仅当图为完全二分图时取等。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph with vertex set $V(G) = \{v_1, v_2,\ldots, v_n\}$ and edge set $E(G) = \{e_1, e_2,\ldots, e_m\}$. Similar to the Randić matrix, here we introduce the Randić incidence matrix of a graph $G$, denoted by $I_R(G)$, which is defined as the $n imes m$ matrix whose $(i, j)$-entry is $(d_i)^{-\frac{1}{2}}$ if $v_i$ is incident to $e_j$ and $0$ otherwise. Naturally, the Randić incidence energy $I_RE$ of $G$ is the sum of the singular values of $I_R(G)$. We establish lower and upper bounds for the Randić incidence energy. Graphs for which these bounds are best possible are characterized. Moreover, we investigate the relation between the Randić incidence energy of a graph and that of its subgraphs. Also we give a sharp upper bound for the Randić incidence energy of a bipartite graph and determine the trees with the maximum Randić incidence energy among all $n$-vertex trees. As a result, some results are very different from those for incidence energy.

研究动机与目标

• 基于Randić关联矩阵定义一种新的图能量概念，推广标准关联能量。
• 为一般图的Randić关联能量建立紧致的下界和上界。
• 刻画达到这些界图的结构特征，特别关注二分图和树。
• 比较Randić关联能量与标准关联能量及其他图能量概念的行为差异。
• 探讨使Randić关联能量最大的图的结构特性，尤其在树类中。

提出的方法

• 将Randić关联矩阵 $ I_R(G) $ 定义为 $ n \times m $ 矩阵，其中若顶点 $ v_i $ 与边 $ e_j $ 相关联，则第 $ (i,j) $ 个元素为 $ d_i^{-1/2} $，否则为 0。
• 将Randić关联能量 $ I_RE(G) $ 表达为 $ I_R(G) $ 的奇异值之和，等价于 $ \sum_{i=1}^r \sqrt{\mu_i^+(G[W])} $，其中 $ \mu_i^+ $ 为归一化无符号拉普拉斯矩阵的特征值。
• 利用恒等式 $ I_R(G)I_R(G)^T = \mathcal{Q}(G[W]) $，其中 $ \mathcal{Q}(G[W]) $ 为非孤立顶点诱导子图的归一化无符号拉普拉斯矩阵。
• 应用柯西-施瓦茨不等式，为二分图的 $ I_RE(G) $ 推导上界，得出 $ n - 2 + \sqrt{2} $。
• 通过秩与奇异值分析，证明在边删除时能量相等仅发生在 $ K_2 $ 情况下，表明对更大图具有严格单调性。
• 通过谱性质刻画极值图：当且仅当归一化拉普拉斯特征值为 $ 2, 1, \dots, 1, 0 $ 时，边界等号成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般图，Randić关联能量的最紧致下界和上界是什么？
• RQ2 在所有 $ n $ 个顶点的树中，哪类图使Randić关联能量最大？
• RQ3 二分图的Randić关联能量的精确上界是多少，哪些图能取到该上界？
• RQ4 在边删除时，Randić关联能量的行为如何，何时严格递减？
• RQ5 与标准关联能量及其他图能量概念相比，Randić关联能量在极值情况下的表现有何差异？

主要发现

• 任意不含孤立顶点的图 $ G $ 的Randić关联能量满足 $ I_RE(G) = \sum_{i=1}^n \sigma_i(G) = \sum_{i=1}^n \sqrt{\mu_i^+(G)} $，其中 $ \mu_i^+ $ 为归一化无符号拉普拉斯矩阵的特征值。
• 对于阶为 $ n $ 的二分图，Randić关联能量的上界为 $ n - 2 + \sqrt{2} $，且等号成立当且仅当 $ G $ 为完全二分图。
• 在所有 $ n $ 个顶点的树中，星图 $ S_n = K_{1,n-1} $ 唯一地使Randić关联能量最大。
• 除 $ G = K_2 $ 外，删除边后Randić关联能量严格减小，即对所有 $ n \geq 3 $，有 $ I_RE(G) > I_RE(G-e) $。
• 在树类中，使IRE最大的图是星图，这与标准关联能量中路径 $ P_n $ 具有最大能量的情况形成对比。
• 未来研究方向建议推广到参数化矩阵族，其元素为 $ d_i^\alpha $（$ \alpha \neq 0 $）。