[论文解读] Random Almost Periodic Solutions of Random Dynamical Systems

Weili Zhang, Zuohuan Zheng|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入了随机动力系统中随机几乎周期解的概念，在适当条件下证明了其存在性，并将其与几乎周期概率测度联系起来。主要贡献在于证明了随机几乎周期解生成几乎周期不变测度，将确定性几乎周期理论扩展至随机设置，适用于SDE和马尔可夫系统。

ABSTRACT

In this paper, we first give the definition of random almost periodic solutions of random dynamical systems and give some examples. Then, we prove the existence of such random almost periodic solutions. Further, we introduce the definition of random almost periodic measure. Finally, we discuss the relationship between random almost periodic solutions and almost periodic measures.

研究动机与目标

• 在随机动力系统中定义并建立随机几乎周期解的存在性。
• 引入随机几乎周期测度的概念，并将其与随机动力系统的解联系起来。
• 通过将随机几乎周期解与几乎周期不变测度关联，将确定性几乎周期理论扩展至随机设置。
• 为分析SDE和马尔可夫过程等系统中非周期但具有重复性的随机现象，提供一个分析框架。

提出的方法

• 通过在概率空间中对平移时间 τₖ 施加相对密度条件来定义随机几乎周期解，确保在分布上的一致逼近。
• 采用适用于随机动力系统的Krylov-Bogoliubov方法，证明在有界性和连续性条件下解的存在性。
• 为马尔可夫型随机动力系统构造一族转移概率 Pₜ*λ，以定义相应的测度值过程。
• 证明当 H 为随机几乎周期解时，由 λₜ(A) = P(H(t, θ₋ₜω) ∈ A) 定义的像测度 λₜ 构成一个几乎周期测度。
• 应用Wasserstein-1距离 ρ₁ 来量化测度的收敛性，并建立测度族的几乎周期性。
• 利用马尔可夫性质和保测变换 θₜ，确保所构造测度的时间齐次性与不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将几乎周期性概念从确定性系统扩展到随机动力系统？
• RQ2 在何种条件下，随机动力系统会存在随机几乎周期解？
• RQ3 在相空间中，随机几乎周期解与几乎周期不变测度之间存在何种关系？
• RQ4 随机几乎周期解的存在是否能推出状态空间上几乎周期概率测度的存在？
• RQ5 随机几乎周期解与随机系统中平稳解和随机周期解之间有何关系？

主要发现

• 本文在系数和状态空间的有界性与连续性假设下，证明了随机几乎周期解的存在性。
• 证明了随机几乎周期解 H 会生成一个几乎周期测度 λₜ，其定义为 λₜ(A) = P(H(t, θ₋ₜω) ∈ A)。
• 证明了测度族 λₜ 在Wasserstein-1距离下是几乎周期的，即存在相对稠密集 τₖ，使得 ρ₁(λₛ₊ₜₖ, λₛ) < ε。
• 通过 H(t, θ₋ₜω) 的像测度构造 λₜ，确保其与系统的马尔可夫结构相容。
• 通过因子分解 (μₜ)ₐ = δ_{H(t,θ₋ₜω)} 几乎处处成立，形式化了随机几乎周期解与几乎周期测度之间的关系。
• 研究结果将确定性几乎周期理论推广至随机环境，为建模超越周期性的重复性随机现象提供了理论框架。