[论文解读] Random batch methods (RBM) for interacting particle systems

Shi Jin, Lei Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 72被引用 7

一句话总结

本文提出随机批次方法（RBM）用于大规模相互作用粒子系统，通过在每次时间步使用小规模随机选取的批次来计算粒子相互作用，将计算成本从 O(N²) 降低至 O(N)。该方法具有渐近保持性，能准确捕捉平均场极限，并在特定条件下实现与粒子数 N 无关的误差界，从而实现对物理、社会科学和数据科学中复杂系统的高效模拟。

ABSTRACT

We develop Random Batch Methods for interacting particle systems with large number of particles. These methods use small but random batches for particle interactions, thus the computational cost is reduced from $O(N^2)$ per time step to $O(N)$, for a system with $N$ particles with binary interactions. On one hand, these methods are efficient Asymptotic-Preserving schemes for the underlying particle systems, allowing $N$-independent time steps and also capture, in the $N o \infty$ limit, the solution of the mean field limit which are nonlinear Fokker-Planck equations; on the other hand, the stochastic processes generated by the algorithms can also be regarded as new models for the underlying problems. For one of the methods, we give a particle number independent error estimate under some special interactions. Then, we apply these methods to some representative problems in mathematics, physics, social and data sciences, including the Dyson Brownian motion from random matrix theory, Thomson's problem, distribution of wealth, opinion dynamics and clustering. Numerical results show that the methods can capture both the transient solutions and the global equilibrium in these problems.

研究动机与目标

• 降低具有二元相互作用的大规模相互作用粒子系统模拟的 O(N²) 计算成本。
• 开发在 N → ∞ 时保持平均场极限的算法，确保与非线性 Fokker-Planck 方程的一致性。
• 在特定相互作用条件下，提供与粒子数无关的误差估计，以实现可靠的大 N 模拟。
• 将该方法应用于数学、物理、社会科学和数据科学中的多样化问题，展示其在捕捉瞬态和平衡态动力学方面的鲁棒性。

提出的方法

• 该方法在每个时间步用随机的小批次相互作用替代全部成对相互作用，将计算成本从 O(N²) 降低至 O(N)。
• 在每个时间步，将粒子随机划分为大小为 p ≪ N 的小批次，并仅在每一批次内部计算相互作用。
• 该算法采用时间分裂格式：依次应用外力、批次内相互作用以及（若存在）噪声。
• 对于确定性情形，该方法被证明可保持平均场极限，并实现与粒子数 N 无关的均匀误差界。
• 理论分析依赖于矩界、相互作用核的利普希茨连续性以及格朗沃尔型不等式，以控制误差累积。
• 该方法被扩展至具有加性噪声的随机系统，并应用于具有平均场极限的随机微分方程（SDEs）。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机批次相互作用能否在保持平均场极限的同时，以 O(N) 的计算成本近似完整 N 体相互作用动力学？
• RQ2 当 N → ∞ 时，RBM 算法的误差行为如何？其误差能否与粒子数 N 无关地进行有界控制？
• RQ3 RBM 模拟在捕捉多样化系统中的瞬态行为和长期平衡态行为方面表现如何？
• RQ4 RBM 能否在统计物理、社会动力学和数据科学问题中有效应用，且精度损失最小？

主要发现

• RBM 在每个时间步实现 O(N) 的计算成本，相较于完整相互作用系统的标准 O(N²) 成本有显著提升。
• 该方法具有渐近保持性，即在 N → ∞ 时能准确捕捉由非线性 Fokker-Planck 方程描述的平均场极限。
• 对于特定类型的相互作用，本文建立了与粒子数无关的误差估计，证明了无论 N 取值如何，算法均能收敛至平均场解。
• 数值结果表明，RBM 能够准确捕捉 Dyson Brownian 运动、汤姆森问题、财富分布、意见动力学和聚类等问题中的瞬态动力学与全局平衡态。
• RBM 的随机版本生成了新型模型，可作为复杂相互作用系统高效近似的工具。
• 理论分析证实，在标准假设下（包括相互作用核的利普希茨连续性和矩有界性），该方法保持了稳定性和收敛性。