[论文解读] Random Operators and Crossed Products

Daniel Lenz|ArXiv.org|Feb 26, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文提出了一种利用交叉积和冯·诺依曼代数分析随机算子的新方法，通过希尔伯特代数结构，借助康奈斯的非交换积分理论定义了迹。研究证明了在周期情况下，态密度的积分是谱测度，推广了卡明克和夏的研究结果，并利用戈德曼等人的方法证明了关于ℤ作用的交叉积的对偶定理。

ABSTRACT

This article is concerned with crossed products and their applications to random operators. We study the von Neumann algebra of a dynamical system using the underlying Hilbert algebra structure. This gives a particularly easy way to introduce a trace on this von Neumann algebra. We review several formulas for this trace, show how it comes as an application of Connes' non commutative integration theory and discuss Shubin's trace formula. We then restrict ourselves to the case of an action of a group on a group and include new proofs for some theorems of Bellissard and Testard on an analogue of the classical Plancherel Theorem. We show that the integrated density of states is a spectral measure in the periodic case, therby generalizing a result of Kaminker and Xia. Finally, we discuss duality results and apply a method of Gordon et al. to establish a duality result for crossed products by Z.

研究动机与目标

• 通过希尔伯特代数结构，在动力系统相关的冯·诺依曼代数上发展迹理论。
• 应用康奈斯的非交换积分理论，推导并解释迹公式。
• 通过证明在周期情况下态密度的积分是谱测度，推广卡明克和夏的结果。
• 利用戈德曼等人的技术，建立关于ℤ作用的交叉积的对偶结果。
• 为贝尔萨尔和泰斯塔德关于非交换普朗歇尔定理类比的定理提供新的证明。

提出的方法

• 利用动力系统底层的希尔伯特代数结构，在相关冯·诺依曼代数上定义迹。
• 应用康奈斯的非交换积分理论，推导并解释迹公式，包括舒宾公式。
• 分析由群作用于群所产生的交叉积，重点关注ℤ作用的情形。
• 应用戈德曼等人的方法，证明关于ℤ作用的交叉积的对偶定理。
• 重新审视并为贝尔萨尔和泰斯塔德关于非交换普朗歇尔定理类比的结果提供新的证明。
• 利用谱论和迹论，将周期系统中态密度的积分与谱测度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过希尔伯特代数方法系统地构造动力系统冯·诺依曼代数上的迹？
• RQ2 康奈斯的非交换积分理论在何种程度上统一或澄清了已知的迹公式（如舒宾公式）？
• RQ3 在何种条件下，态密度的积分是谱测度，特别是在周期系统中？
• RQ4 如何利用戈德曼等人的方法建立关于ℤ作用的交叉积的对偶定理？
• RQ5 非交换普朗歇尔定理类比在多大程度上适用于群作用的交叉积？

主要发现

• 动力系统冯·诺依曼代数上的迹通过希尔伯特代数结构自然定义，提供了简化的构造方法。
• 舒宾迹公式作为康奈斯非交换积分理论的应用被推导出来。
• 本文为贝尔萨尔和泰斯塔德关于非交换普朗歇尔定理类比的关键定理提供了新的、简化的证明。
• 在周期情况下，态密度的积分被证明是谱测度，推广了卡明克和夏的结果。
• 通过戈德曼等人的方法，建立了关于ℤ作用的交叉积的对偶结果，扩展了已知的对偶框架。
• 该框架通过交叉积构造，成功地将谱论、迹论与动力系统联系起来。