[论文解读] Random Walks on Dynamic Graphs: Mixing Times, HittingTimes, and Return Probabilities

Thomas Sauerwald, Luca Zanetti|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 7

一句话总结

本文通过利用局部扩张性质，将静态图上的结果推广至动态图，建立了随机游走在动态图上混合时间、 hitting 时间和返回概率的界。对于时不变平稳分布的动态正则图，其混合时间和 hitting 时间为 O(n²)，与已知的静态图界一致；而非正则图的混合时间为 O(n³)，最大 hitting 时间为 O(n³ log n)。

ABSTRACT

We establish and generalise several bounds for various random walk quantities including the mixing time and the maximum hitting time. Unlike previous analyses, our derivations are based on rather intuitive notions of local expansion properties which allows us to capture the progress the random walk makes through $t$-step probabilities. We apply our framework to dynamically changing graphs, where the set of vertices is fixed while the set of edges changes in each round. For random walks on dynamic connected graphs for which the stationary distribution does not change over time, we show that their behaviour is in a certain sense similar to static graphs. For example, we show that the mixing and hitting times of any sequence of $d$-regular connected graphs is $O(n^2)$, generalising a well-known result for static graphs. We also provide refined bounds depending on the isoperimetric dimension of the graph, matching again known results for static graphs. Finally, we investigate properties of random walks on dynamic graphs that are not always connected: we relate their convergence to stationarity to the spectral properties of an average of transition matrices and provide some examples that demonstrate strong discrepancies between static and dynamic graphs.

研究动机与目标

• 理解在连通性与边集随时间演变的动态图上随机游走的行为。
• 将经典随机游走结果（如混合时间与 hitting 时间）从静态图推广至具有时不变平稳分布的动态图。
• 研究演化图中拓扑变化对收敛至平稳分布及探索过程效率的影响。
• 识别动态图在何种条件下可表现出与静态图相似的随机游走收敛与混合行为。
• 探讨当连通性无法保证时，静态图与动态图在谱性质与收敛速率方面的差异。

提出的方法

• 基于局部扩张性质构建分析框架，用于研究 t 步转移概率并量化随机游走的进展。
• 利用边边界与顶点分类（第1类与第2类）来界定扩张随时间的变化速率。
• 应用谱分析与矩阵平均方法，将收敛至平稳分布与平均转移矩阵的谱性质关联起来。
• 采用组合论证与排序技术，对逆边边界大小之和进行上界估计，这是推导混合时间界的关键。
• 利用静态图中的已知结果（如 Matthew 的界），并通过概率与图论不等式将其适配至动态场景。
• 通过构造极值图（如哑铃状结构与可控边连通性的正则图）验证界的有效性，表明界在对数因子内是紧致的。

实验结果

研究问题

• RQ1 当平稳分布随时间保持不变时，动态图上的混合时间与 hitting 时间与静态图相比如何？
• RQ2 是否可利用局部扩张性质，为动态演化图上的混合时间与 hitting 时间推导出一般性界？
• RQ3 当图并非始终连通时，随机游走的收敛性会发生什么变化？转移矩阵的谱性质如何影响这一过程？
• RQ4 在具有时不变平稳分布的动态图中，其混合时间行为在多大程度上继承自静态图？
• RQ5 度正则性与边连通性在动态环境下如何影响所推导的 hitting 时间与混合时间界之紧致性？

主要发现

• 对于任意一列具有时不变平稳分布的 d-正则连通图，其混合时间为 O(n²)，与静态图的最佳已知界一致。
• 此类动态 d-正则图的最大 hitting 时间为 O(n²)，这是最优的，与静态图的最坏情况界一致。
• 对于具有时不变平稳分布的非正则动态图，其混合时间被限制在 O(n³)，与静态图的已知最坏情况界一致。
• 动态图的最大 hitting 时间被限制在 O(n³ log n)，与静态图中观察到的最优 O(n³) 界（如哑铃图）仅相差对数因子。
• 本文确立了动态图收敛至平稳分布的过程由时间平均转移矩阵的谱性质所决定。
• 该框架表明，具有时不变平稳分布的动态图在关键随机游走量的阶上，其行为与静态图不可区分。