[论文解读] Randomized Strategyproof Mechanisms for Facility Location and the Mini-Sum-of-Squares Objective

Michal Feldman, Yoav Wilf|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2011

Game Theory and Voting Systems参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文提出了一类统一的随机化策略性诚实机制，用于树状网络上的设施选址问题，统一了以往的确定性和随机化机制。该机制在直线上实现了 mini-Sum-of-Squares（miniSOS）目标的 1.5-近似，在一般树上实现了 1.83-近似，证明了没有任何随机化策略性诚实机制能表现得更好，同时表明即使在直线上，确定性机制也无法实现优于 2-近似的性能。

ABSTRACT

We consider the problem of locating a public facility on a line, where a set of $n$ strategic agents report their \emph{locations} and a mechanism determines, either deterministically or randomly, the location of the facility. Game theoretic perspectives of the facility location problem advanced in two main directions. The first direction is concerned with the characterization of \emph{strategyproof} (SP) mechanisms; i.e., mechanisms that induce truthful reporting as a dominant strategy; and the second direction quantifies how well various objective functions can be approximated when restricted to SP mechanisms. The current paper provides contributions in both directions. First, we construct a parameterized randomized SP mechanism, and show that all of the previously proposed deterministic and randomized SP mechanisms for the current settings can be formalized as special cases of this mechanism. Second, we give tight results for the approximation ratio of SP mechanisms with respect to the objective of minimizing the sum of squares of distances to the agents (\emph{miniSOS}). Holzman \cite{Holzman1990} provided an axiomatic foundation for this function, showing that it is the unique function that satisfies unanimity, continuity and invariance. We devise a randomized mechanism that gives a 1.5-approximation for the miniSOS function, and show that no other randomized SP mechanism can provide a better approximation. This mechanism chooses the average location with probability 1/2 and a \emph{random dictator} with probability 1/2. For deterministic mechanisms, we show that the median mechanism provides a 2-approximation, and this is tight. Together, our study provides fundamental understanding of the miniSOS objective function and makes a step toward the characterization of randomized SP facility location mechanisms.

研究动机与目标

• 将现有的用于设施选址的确定性和随机化策略性诚实机制统一到一个适用于树网络的通用框架中。
• 刻画在树网络上，策略性诚实机制对 mini-Sum-of-Squares（miniSOS）目标函数可实现的近似比。
• 在 miniSOS 目标下，建立确定性机制与随机化机制在近似性能上的差异。
• 为随机化策略性诚实机制在直线和一般树网络上的 miniSOS 目标，提供紧致的上下界。

提出的方法

• 提出了一类以树网络中节点分布为参数的通用随机化策略性诚实机制家族，确保诚实报告是主导策略。
• 通过战略性地随机化设施位置，最小化代理到设施的期望平方距离之和，将该机制应用于 miniSOS 目标。
• 采用一种基于子树分解并以最优位置为根对代理进行平均的新分析技术，以界定近似比。
• 通过将问题约化到直线网络情形来推导紧致界，利用 miniSOS 函数的对称性和凸性特性。
• 通过分布性论证证明下界：在直线上，没有任何随机化策略性诚实机制能实现优于 1.5-近似的性能。
• 通过将树分解并分析每个子树对整体 miniSOS 值的贡献，将分析扩展到一般树网络。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出一个统一的随机化策略性诚实机制家族，用于树网络上的设施选址，且能涵盖所有先前提出的机制？
• RQ2 在直线上，随机化策略性诚实机制对 miniSOS 目标可实现的最佳可能近似比是多少？
• RQ3 在一般树网络上，随机化策略性诚实机制对 miniSOS 目标可实现的最佳可能近似比是多少？
• RQ4 随机化机制在 miniSOS 目标下的近似性能与确定性机制相比如何？
• RQ5 能否为随机化策略性诚实机制在 miniSOS 目标上的近似比建立紧致的下界？

主要发现

• 所提出的机制家族统一了所有已知的树网络设施选址中的确定性和随机化策略性诚实机制，提供了一个通用框架。
• 对于直线上 miniSOS 目标，该机制实现了 1.5-近似，且该结果最优——没有任何其他随机化策略性诚实机制能实现更优的近似。
• 在一般树网络上，该机制对 miniSOS 目标实现了 1.83-近似。
• 没有任何确定性策略性诚实机制能将 miniSOS 目标近似得优于 2 倍，即使在直线上也如此，从而确立了确定性与随机化机制之间的严格分离。
• 分析表明，miniSOS 目标在本质上比 minisum 或 minimax 目标更易于通过随机化实现近似。
• 通过分布性下界论证，证明了 1.5-近似界是紧致的，表明任何随机化策略性诚实机制都必须承担至少该期望成本。