[论文解读] Range of a Transient 2d-Random Walk

Arnaud Le Ny|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究了在随机定向格点上瞬态二维随机游走的范围，证明在 quenched 和 annealed 两种设定下，期望范围均呈线性增长。它建立了 annealed 情况下的弱大数定律，其增长率通过 quenched Green 函数表示，并表明方差为次线性，支持一种非标准中心极限定理的缩放方式。

ABSTRACT

We study the range of a planar random walk on a randomly oriented lattice, already known to be transient. We prove that the expectation of the range grows linearly, in both the quenched (for a.e. orientation) and annealed ("averaged") cases. We also express the rate of growth in terms of the quenched Green function and eventually prove a weak law of large numbers in the (non-Markovian) annealed case.

研究动机与目标

• 分析瞬态二维随机游走在随机定向格点上的渐近行为。
• 在几乎必然取向条件下，建立范围的 quenched 弱大数定律。
• 推导 annealed 弱大数定律，并以 quenched Green 函数的形式表征增长率。
• 研究范围的方差及其在非马氏设定下对潜在中心极限定理的影响。

提出的方法

• 使用 i.i.d. Rademacher 取向在水平格点线上定义随机环境，为游走构造有向图。
• 应用 quenched 和 annealed 测度研究游走行为，其中 annealed 法律由于全局取向依赖性而非马氏过程。
• 利用 Castell 等人的局部极限定理估计返回概率，证明 $ \mathbb{P}[M_n = (0,0)] = C \cdot n^{-5/4} + o(n^{-5/4}) $。
• 推导 quenched Green 函数 $ U_{\text{cp}}^{(\epsilon)} $，并用其表示期望范围的增长率 $ \gamma_{\text{cp}} $。
• 通过将访问概率分解并应用马尔可夫不等式，分析范围的方差，以证明弱大数定律。
• 通过有界 $ \mathbb{P}^{(\epsilon)}[A_j] $、$ \mathbb{P}^{(\epsilon)}[A_{j,k}] $ 项并结合集中度论证，控制 annealed 方差，证明其趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 瞬态二维随机游走在随机定向格点上的期望范围在 quenched 设定下是否呈线性增长？
• RQ2 在 annealed 设定下，范围的增长率是多少？其与 quenched Green 函数有何关系？
• RQ3 尽管过程具有非马氏性，是否可在 annealed 测度下建立范围的弱大数定律？
• RQ4 范围的方差渐近行为如何？其是否支持一种非标准中心极限定理？
• RQ5 随机环境的结构如何影响与标准二维随机游走相比的常返-瞬态二分性？

主要发现

• 在 quenched 情况下，期望范围呈线性增长：对 $ \rho $-几乎处处的 $ \epsilon $，有 $ \mathbb{E}^{(\epsilon)}[R_n] = n \cdot \gamma_{\text{cp}} + o(n) $，其中 $ \gamma_{\text{cp}} $ 通过 quenched Green 函数表示。
• 在 annealed 情况下，弱大数定律成立：$ \frac{R_n}{n} \xrightarrow{\mathbb{P}} \gamma_{\text{cp}} $，且 $ \gamma_{\text{cp}} = \mathbb{E}_{\rho}[U_{\text{cp}}^{(\epsilon)}] $。
• annealed 方差 $ \text{Var}_{\text{cp}}(R_n) $ 为次线性，满足 $ \frac{1}{n^2} \text{Var}_{\text{cp}}(R_n) \to 0 $，意味着依概率收敛。
• 本文推测方差可能以 $ n^{3/2} $ 的速率增长，从而导致一种非标准中心极限定理，其归一化形式为 $ \sqrt{n\sqrt{n}} $。
• quenched 弱大数定律作为 annealed 分析的副产品被恢复。
• 由于随机取向的存在，该模型打破了经典二维 Pólya 常返-瞬态二分性，使得在 quenched 测度下几乎必然出现瞬态行为。