[论文解读] Rank 2 integrable systems of Prym varieties

Jacques Hurtubise, Eyal Markman|ArXiv.org|Apr 9, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 15

一句话总结

本文通过引入一个具有 χ*-值2-形式的 (v+1) 维代数簇 X，将雅可比簇上的秩-2可积系统框架推广至广义普里姆簇。该研究建立了此类系统与具备该结构的辛簇之间的对应关系。核心贡献在于通过一个内在的几何不变量对普里姆簇的秩-2可积系统进行了刻画，通过谱曲线与韦尔群作用，将希钦型系统推广至非阿贝尔结构。

ABSTRACT

A correspondence between 1) rank 2 completely integrable systems of Jacobians of algebraic curves and 2) (holomorphically) symplectic surfaces was established in a previous paper by the first author. A more general abelian variety that occurs as a Liouville torus of integrable systems is a prym variety associated to a triple (S,W,V) consisting of a curve S, a finite group W of automorphisms of S and an integral representation V. Often W is a Weyl group of a reductive group and V is the root lattice. We establish an analogous correspondence between: i) Rank 2 integrable systems whose Liouville tori are generalized prym varieties Prym(S_u,W,V) of a family of curves S_u, u in U. ii) Varieties X of dimension 1+dim(V) with a W-action and an invariant V-valued 2-form. If V is one dimensional X is a symplectic surface. We obtain a rigidity result: When the dimension of V is at least 2, under mild additional assumptions, all the quotient curves $S_u/W$ are isomorphic to a fixed curve C. This rigidity result imposes considerable constraints on the variety X: X admits a W-invariant fibration to C and the generic fiber has an affine structure modeled after V. Examples discussed include: Hitchin systems, reduced finite dimensional coadjoint orbits of loop algebras, and principal bundles over elliptic K3 surfaces.

研究动机与目标

• 将秩-2代数可积系统在雅可比簇上的几何刻画推广至广义普里姆簇。
• 识别一个规范的几何不变量——即一个具有 χ*-值2-形式的 (v+1) 维代数簇 X——以对这类可积系统进行分类。
• 建立局部秩-2普里姆可积系统与配备 χ*-值2-形式的辛簇 X 之间的对应关系。
• 将 GL(r,C) 的谱曲线与特征线丛构造推广至约化群 G ≠ GL(r,C)，利用韦尔群作用与 H-丛。
• 证明椭圆曲面上 G-丛的模空间可由关于 W-不变谱曲线的广义普里姆簇重建。

提出的方法

• 作者将广义普里姆簇定义为在谱曲线 S 上的 W-不变 H-丛的模空间，其中韦尔群 W 同时作用于黎曼曲面与格 χ。
• 他们在 (v+1) 维代数簇 X 上引入一个 χ*-值2-形式，该形式由广义阿贝尔映射拉回辛形式而得到。
• 该构造使用谱曲线 S 作为基曲线 Σ 的分支覆盖，其单值群由韦尔群 W 控制。
• 通过证明辛叶是与广义普里姆簇微分同胚的拉格朗日子纤维化，证明了该系统是代数可积的。
• 作者利用椭圆纤维化 p:Z→Σ 上 G-丛的相对模空间来构造可积系统，将基空间 U 识别为 Y→Σ 的截面的希尔伯特纲上的扎里斯基开子集。
• 关键技术工具是将商 [E⊗Zχ]/W 识别为 E 上半稳定 G-丛的模空间，并将其推广至 Σ 上的族。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过几何不变量将代数可积系统中的秩-2条件从雅可比簇推广至普里姆簇？
• RQ2 分类局部秩-2广义普里姆簇可积系统的自然几何对象 X 是什么？
• RQ3 GL(r,C)-希钦系统的谱曲线构造如何推广至非 GL(r,C) 的约化群 G？
• RQ4 韦尔群作用在广义普里姆簇及其相关辛形式的结构中起什么作用？
• RQ5 椭圆曲面上 G-丛的模空间能否由关于 W-不变谱曲线的广义普里姆簇纤维化重建？

主要发现

• 本文建立了局部秩-2广义普里姆簇可积系统与配备 χ*-值2-形式的 (v+1) 维辛簇 X 之间的一一对应关系。
• 广义普里姆簇作为谱曲线 S 上 W-不变 H-丛的模空间而出现，其中 S 是 KΣ⊗h 中的 W-不变曲线，H 是 G 的卡坦子群。
• 当 G = SLn 时，椭圆纤维化上 G-丛的相对模空间微分同胚于 Σ 上的加权射影丛，其权由李代数上的不变多项式的次数决定。
• [E⊗Zχ]/W 同构于 E 上半稳定 G-丛的模空间，且该同构可推广至 Σ 上的族。
• 半稳定 G-丛模空间 M⁰ 映射到 Y→Σ 的截面的希尔伯特纲的扎里斯基开子集 U，其纤维同构于广义普里姆簇。
• 该构造可从谱曲线与普里姆簇元素重构原始 G-丛，推广了通过谱数据重构希钦系统的机制。