[论文解读] Rank-metric codes over arbitrary Galois extensions and rank analogues of Reed-Muller codes

Daniel Augot, Alain Couvreur+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 29被引用 13

一句话总结

该论文通过将伽罗华扩张中的秩距离码建模为群代数 $\mathbb{L}[G]$ 的子空间，其中 $G = \mathrm{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$，提出了一种在任意伽罗华扩张上研究秩距离码的框架。它利用多变量斜多项式构造了秩距离码的里德-默勒（Reed–Muller）类比，并建立了秩距离码的阿隆-弗雷迪（Alon–Füredi）定理类比，从而能够基于多项式的总次数对这类多项式的零点数量进行界定。

ABSTRACT

This paper extends the study of rank-metric codes in extension fields $\\mathbb{L}$ equipped with an arbitrary Galois group $G = \\mathrm{Gal}(\\mathbb{L}/\\mathbb{K})$. We propose a framework for studying these codes as subspaces of the group algebra $\\mathbb{L}[G]$, and we relate this point of view with usual notions of rank-metric codes in $\\mathbb{L}^N$ or in $\\mathbb{K}^{N\ imes N}$, where $N = [\\mathbb{L} : \\mathbb{K}]$. We then adapt the notion of error-correcting pairs to this context, in order to provide a non-trivial decoding algorithm for these codes. We then focus on the case where $G$ is abelian, which leads us to see codewords as elements of a multivariate skew polynomial ring. We prove that we can bound the dimension of the vector space of zeroes of these polynomials, depending of their degree. This result can be seen as an analogue of Alon-F\\"uredi theorem -- and by means, of Schwartz-Zippel lemma -- in the rank metric. Finally, we construct the counterparts of Reed-Muller codes in the rank metric, and we give their parameters. We also show the connection between these codes and classical Reed-Muller codes in the case where $\\mathbb{L}$ is a Kummer extension.

研究动机与目标

• 将秩距离码的理论从循环扩张推广到任意伽罗华群的框架下。
• 建立群代数框架（$\mathbb{L}[G]$）以研究秩距离码。
• 将误差纠正对理论推广至该一般设定下，以实现译码。
• 利用斜多项式环构造秩距离码的里德-默勒类比。
• 建立秩距离码的阿隆-弗雷迪定理类比，用于界定多变量斜多项式的零点集大小。

提出的方法

• 将秩距离码表示为群代数 $\mathbb{L}[G]$ 的子空间，利用同构关系 $\mathrm{End}_{\mathbb{K}}(\mathbb{L}) \cong \mathbb{L}[G]$。
• 将误差纠正对技术适配至一般伽罗华扩张设定下，以支持译码。
• 当 $G$ 为阿贝尔群时，将码字建模为多变量斜多项式环的元素。
• 利用伽罗华群的结构，定义基于求值的码，其形式类似于里德-默勒码。
• 通过秩距离码的施瓦茨-齐佩尔引理类比，建立对斜多项式零点数量的界定。
• 通过在 $\mathbb{K}$ 中单位根上求值，构造 $\bm{\theta}$-里德-默勒码。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用群代数结构，在任意伽罗华扩张上系统地研究秩距离码？
• RQ2 如何将误差纠正对理论推广至非循环伽罗华扩张中，以实现译码？
• RQ3 多变量多项式零点集的秩距离码类比的阿隆-弗雷迪定理是什么？
• RQ4 能否在秩距离码中构造出参数与汉明距离码类比的里德-默勒码？
• RQ5 当 $\mathbb{L}$ 为库默尔扩张时，$\bm{\theta}$-里德-默勒码与经典里德-默勒码之间有何联系？

主要发现

• 在任意伽罗华扩张 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 上的秩距离码可自然地表示为群代数 $\mathbb{L}[G]$ 的子空间。
• 作者构造了 $\bm{\theta}$-里德-默勒码，作为由 $\theta_i$ 的总次数 $\leq r$ 的单项式生成的 $\mathbb{L}$-子空间，其参数与经典里德-默勒码类似。
• 建立了秩距离码的阿隆-弗雷迪定理类比，提供了基于总次数对多变量斜多项式零点数量的界定。
• 当 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 为库默尔扩张时，$\bm{\theta}$-里德-默勒码通过在单位根上求值，被证明与 $\mathbb{K}$ 上的经典里德-默勒码同构。
• $\bm{\theta}$-里德-默勒码的生成矩阵被证明是经典里德-默勒码生成矩阵与由 $\mathbb{K}$-基导出的对角矩阵的乘积。
• 该构造提供了一种系统化定义具有已知参数和潜在译码能力的秩距离码的方法，但实现至最小距离一半的实用译码仍是开放问题。